量子力学导论Chap

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1、§10.3变分法1、薛定谔方程与变分原理1）薛定谔方程：给定体系哈密顿量H，体系能量本征值可以通过薛定谔方程加以求解，当然对波函数有边界条件的限制波函数还要满足正交归一化2）变分原理从变分原理外加归一化条件可导出薛定谔方程变分原理：设体系能量平均值为则，体系能量本征值和本征函数在波函数在归一化条件约束下，让取极值而得到，即为拉格朗日(Lagrange)乘子，待定由于波函数是复函数，和*取任意值。所以这就是薛定谔方程。反过来，也可证明满足薛定谔方程的可归一化波函数一定可使能量取极值。这就证明了薛定谔方程

2、与变分原理的等价性。变分原理的重要性在于：根据具体物理问题，先对波函数作某种限制，然后给出该试探波函数形式下的能量平均值，并让取极值，从而定出所取形式下的最佳波函数，作为严格解的一种近似。3）变分原理给出体系基态能量的一个上限变分原理求出的不小于体系基态能量的严格值：设含H在内的一组守恒量完全集的共同本征态为0，1，2，，对应的本征能量为E0，E1，E2，用它展开试探波函数2、里兹(Ritz)变分法方法设给出了试探波函数的具体形式，其中含有待定的变分参数，设基态试探波函数取为c1，c2，

3、待定。变化参数，使取极值，由于c1，c2，可取任意值，所以要求从这些方程可以解出参数ci，再带入试探波函数和能量平均值公式，得出基态波函数和基态能量2）例题类氦离子的基态波函数试探波函数零级近似波函数取为两个类氢原子波函数的乘积但考虑屏蔽效应后，对它要进行修正其中，=Z-，=Z-是描述屏蔽效应强弱的参数（0<<1）。若=0，表示无屏蔽。u(r)满足薛定谔方程即一个1s（n=1）电子在一个有效电荷为的原子核库仑势中的薛定谔方程。3、哈特利(Hartree)自洽场方法方法只对波函数的一般形式

4、作某些假定，然后用变分法原理求出相应的能量本征方程，这个方程也许比原本的薛定谔方程求解容易一些。哈特利方法适合多电子原子系统哈特利方法实质：在原子中，电子受到原子及其他电子的作用，可近似地用一个平均场来替代(平均场近似，或独立粒子模型)2）原子基态波函数是各个单电子波函数的乘积(没有计及交换对称性)满足3）基态能量能量平均值归一化条件求极值及其共轭方程，为哈特利方程它是单电子波函数满足的方程方程左边第二项表示其余电子对第i个电子的库仑排斥势是个非线性积分-微分方程，只能用迭代方法逐步近似求解，最后自洽。