5.2平面向量的基本定理及坐标表示

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1、系列一2019一轮•数学5．2　平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使_____________________________．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝_____

2、_______.(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示

3、．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝，j＝，0＝.4．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝__________________________________________.(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_________________________________________.(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________.(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．自查自纠：1．a＝λ

4、1e1＋λ2e2　基底2．(1)非零　(2)0°≤θ≤180°　0°　180°　(3)90°　a⊥b3．(1)互相垂直　(2)(x，y)　(x，y)　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)4．(1)(x1±x2，y1±y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)(3)(λx，λy)　(4)x1y2－x2y1＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，＝(1，－2)，则向量＝(　　)A．(0，0)B．(2，2)C．(－1，－1)D．(－3，－3)好教育云平台http://www.jtyhjy.com9系列一201

5、9一轮•数学解：因为A(2，1)，B(0，2)，所以＝(－2，1)．又因为＝(1，－2)，所以＝＋＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C.()已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解：因为4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以3e1－2e2与4e2－6e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，则

6、2a－b等于(　　)A．(4，0)B．(0，4)C．(4，－8)D．(－4，8)解：因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2，4)＝(4，－8)．故选C.()已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.解：由题意可得，－2×3＋3m＝0，所以m＝2.故填2.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于________．解：因为a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3，4)，且(a＋λb)∥c，所以＝，所以λ

7、＝.故填.类型一　向量共线充要条件的坐标表示　(1)已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．解：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，因为(a－2b)∥(2a＋b)，所以(8－2x)(x＋1)－(16＋x)＝0，即x＝4或x＝－4(舍去)．故填4.(2)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则

8、b

9、等于(　　)A.B．2C.D.或2解：根据题意a∥b知m(2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝时，a＝(4，3)，b＝，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m

10、＝－2，此