专题9.8 中考数学基本几何模型探究 -备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）

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1、中考数学基本几何模型探究【专题综述】许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.【方法解读】一、中考试题呈现和探源题目如图1，正方形的边长为3cm,分别从出发沿方向运动，点的运动速度是1cm/秒，点的运动速度是2cm/秒.连结并过点作，垂足为.(1)求证:;(2)当运动时间为何值时，?(3)设的面积为，用运动时间表示的面积.(不

2、要求考虑的取值范围)(提示:解答(2)(3)时可不分先后)[来源:学*科*网]此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形是正方形，点是边的中点，交于点，求证:.(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题)将此题的条件“交于点”去掉，即可变为上述中考题.二、探寻基本图形和基本模型由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形中，点分别在边上，交于点.性质1若，则(或).性质2若(或)，则.性质3若点是中心对称图形的对称

3、中心，且，则把该图形的面积四等分.若将线段分别平移到处(如图4)，结论仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.如图5，在矩形中，点分别在上，且，则.若将线段分别平移到处(如图6)，结论仍成立.由以上图形可提炼出如下模型:模型1正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直)模型3矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直)三、模型解题提升能力[来源:Z。xx。k.Com]1、用模型1解决问题例1已知:如图7，

4、在正方形中，点在边上，于点于点.(1)求证:;[来源:Zxxk.Com](2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于的长.分析由模型1易得，得本题证明思路是证全等形，进而得，由全等形可得或.例2如图8，正方形的面积为3cm2,为边上一点，,为的中点，过点作直线分别与相交于点，若，则的长等于cm.分析由模型2可得，用勾股定理和，求得=2，则=1，所以.2、用模型2解决问题例3问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10,是正方形内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点

5、)，使正方形的面积四等分，并说明理由.问题解决(3)如图11，在四边形中，，点是的中点.如果，且，那么在边上是否存在一点，使所在的直线将四边形的面积分成相等的两部分?若存在，求出的长;若不存在，说明理由.分析(1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2，过点和正方形对角线的交点作直线，分别交于两点，再过点作的垂线，交于两点，则直线将正方形的面积四等分，如图10所示.(3)如图11，延长至点，使,延长至点，使，连结.由，易证四边形是菱形，连结交于点，则，得，所以点与重合，点是菱形对角线的交点.在上截取，则.设点到菱形一边的距

6、离为，则[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学,科,网].所以，当时，直线将四边形分成面积相等的两部分.3、用模型3解题例3探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12，矩形中，分别交于点分别交于点.求证:.结论应用(2)如图13，在满足(1)的条件下，又，点分别在边上，若,则的值为.联系拓展(3)如图14，四边形中，,点分别在边上，求的值.分析(1)由模型3，过点作,交于，过点作，交于，如图15，易证，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.(2)只需运用(1)中的结论

7、,可得到，就可解决问题.[来源:学&科&网](3)过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于点，交的延长线于点，如图16，易证四边形是矩形，由模型3可得.设，则，在中，根据勾股定理，可得.①在中，根据勾股定理，可得.②解①②就可求出，即可得到，问题得以解决.【强化训练】1.（2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（　　）A．①②③　　　　　　B．②③④　　　　　　C．①③④　　　　　　D．①②④2．（2017四

8、川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中