牛吃草问题概念与公式

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1、牛吃草问题概念及公式  牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰  1)设定一头牛一天吃草量为“1”  1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);  2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`3)吃的天数=原有草量÷(牛头数

2、-草的生长速度);  4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。  由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。  牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。  解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进

3、而解答题总所求的问题。  这类问题的基本数量关系是:  1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。  2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。    【例1】有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃多少天?  A.3B.4C.5D.6  【名师姚璐答案】C  设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天,这片草场可供25头牛吃Y天  根据核心公式代入  (200-150)/(20-10)=510*20-5*20=100100/(25-5)=5(天)  例2】有一块牧场,

4、可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?  A.20B.25C.30D.35  【案】C  【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天,  根据核心公式代入  (20×10-15×10)=510×20-5×20=100100÷4+5=30(头)  5【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛?  A.50B.46C.38D.35  【答案】D  【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天,每公亩草场原有牧草量为Y,24天内吃尽40公亩牧场

5、的草,需要Z头牛  、根据核心公式:  ,代入  ,因此,选择D  【注释】这里面牧场的面积发生变化,所以每天长出的草量不再是常量。【例5】有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,如果用6台抽水机,那么需抽多少小时?【北京社招2006】  A.16B.20C.24D.28  【名师姚璐答案】C  【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量,共需Y小时  有恒等式:  解,得,代入恒等式  【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果有33只猴子一起吃,则需要几周吃光?

6、(假定野果生长的速度不变)、  A.2周B.3周C.4周D.5周  【答案】C  设每天新生长的野果足够X只猴子吃,33只猴子共需Y周吃完  有恒等式:  解,得,代入恒等式  【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】  A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时  【璐答案】D  【解析】设共需X小时就无人排队了。例题   1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定

7、速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数  设一个检票口一分钟一个人  1个检票口30分钟30个人  2个检票口10分钟20个人  (30-20)÷(30-10)=0.5个人  原有1×30-30×0.5=15人  或2×10-10×0.5=15人5  2、有三块草地,面积分别是5,15,24亩。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃

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