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《2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数的奇偶性与周期性+含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数的奇偶性与周期性【考点梳理】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有f(—x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有f(—x)=—f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数/(%),如果存在一个非零常数门使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数，称7•为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小
2、正数就叫做f(x)的最小正周期.【考点突破】考点一、函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)/(x)=x3-2x；(2)/(x)=(x4-irx>0,x2+x,xVO.⑶心)［解析］(1)定义域为R,关于原点对称，又代—兀)=(—%)3—2(—%)=—X3+2兀=—(兀3—2兀)=—y(x)・该函数为奇函数.1—X(2)由由20可得函数的定义域为(-1,1］・・・・函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数.(1)易知函数的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称，又当x>0时,的=”+兀，则当兀V0时，一X>O,故j[-x)=^-x=J
3、[x)当xo时，一xvo,故y(—x)=x2+x=/(x),故原函数是偶函数.【类题通法】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明A-X)与/U)的关系，只有对各段上的兀都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断.【对点训练】1.设函数尢)，g(x)的定义域都为R,且沧)是奇函数，g⑴是偶函数，则下列结论中正确的是()A.J(x)g(x)是偶函数B・1/U)
4、g9)是奇函数C-fix)g(x)是奇函数D・
5、/Wg(Q是奇函数[答案]C［解析］A:令加兀)=fix)-g
6、(x),则h(—x)=/—xyg(~x)=—fix)-g(x)=—h(x),力(兀)是奇函数，A错.B：令h(x)=f(x)g⑴，则/?(-x)=［/(—x)g(—x)=
7、-J(x)g(x)=f(x)g(x)=h(x),・・・/心)是偶函数，B错.C：令h(x)=f(x)g⑴I，则h(—x)=fi—x)g(—x)=—f(x)g(x)=—h(x),h(x)是奇函数，C正确.D：令7?(x)=
8、/(x)-g(x)
9、,则/?(-x)=
10、X-xg(-x)
11、=
12、-*
13、+心一3的奇偶性.［解析］由J3—/20,［<—320,得"=3,♦■•兀=即函数7U)的定义域为{—萌，^3},从而几0=寸3-?+心_3=0.因此A-x)=—心)且J{-x)=j{x),・•・函数夬兀)既是奇函数又是偶函数.考点二、函数奇偶性的应用【例2】(1)若函数fix)=xln(x+寸匚匚？)为偶函数，贝ija=.⑵已知/(兀)是定义在R上的奇函数，当x>0时，几¥)=/—4兀，则j{x)=(%2—4x,兀>0,［答案］⑴1(2)<0,x=0,、一/—4x,x<0［解析］(i)・・VU)为偶函数，・；/(一兀)一心)=0恒成立，/.—xln(—x+H
14、a+x2)—xln(x+#G+r)=0恒成立，.■・xlriG=0恒成立，.■.In<7=0,即<7=1.(2)V/x)是定义在R上的奇函数，・/(0)=0.又当兀VO时，一兀>0,・・・夬一劝="+4上又几r)为奇函数，A/(—x)=—/(x),即A%)=_”一4x(x<0),x2—4x,x>0,•W)=1°>%=o，、一"一4x,x<0.【类题通法】1.已知函数的奇偶性求参数，一般釆用待定系数法求解，根据夬Qg)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2.已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量
15、转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于张)的方程(组)，从而可得/(兀)的值或解析式.【对点训练】1.设7U)为定义在R上的奇函数.当Q0时，fix)=2x+2x+b(b为常数)，则几一1)=()A.—3B.—1C・1D.3［答案］A［解析］因为夬劝为定义在R上的奇函数，所以有X0)=2°+2x0+Z?=0,解得b=-,所以当丘0时，Xx)=2v+2x-l,所以/(-1)=-/(1)=-(21+2x1-1)=—3.12.函数y—log2]_的图象(1X)A.关于原点对称B.关于直线〉，=~x对称C・关于y轴对称D・关于直线y=X对称［答
16、案］A［解析］由M>0得一1GV11—
