2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：二次函数与幂函数+word版含解析

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1、二次函数与幂函数【考点梳理】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x＝－对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x

2、y＝x－1图象定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域R{y

5、y≥0}R{y

6、y≥0}{y

7、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)【考点突破】考点一、求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解析]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.

8、∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数的最大值是8，即＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【类题通法】用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下【对点训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都

9、有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．[解析]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考点二、二次函数的图象与性质【例2】(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　　D(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意

10、x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．[答案](1)D　(2)[解析](1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有即解得－＜m＜0.【例3】(1)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)A．－4B．－3C．－1D．0(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为(　　)A

11、．2B．－1或－3C．2或－3D．－1或2[答案](1)A　(2)D[解析](1)xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，当t＝1≥，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A.(2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上是减函数，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a，1]上是减函数，∴

12、f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上是增函数，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.【例4】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的