抛物线的简单几何性质（1）

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1、抛物线的简单几何性质(1)30七月2021一、复习回顾：.FM.－－抛物线标准方程1、抛物线的定义：标准方程图形焦点准线xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：P(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p>0）而所以抛物线的范围为关于x轴对称由于点也满足，故抛物线(p>0)关于x轴对称.y2=2pxy2=2px2、对称性P(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。P(x,y)由y2=2px（p>0）当y=0时

2、,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点4、离心率P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。图形标准方程范围对称性顶点离心率关于x轴对称，无对称中心关于x轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心e=1e=1e=1e=15、开口方向P(x,y)抛物线y2=2px（p>0）的开口方向向右。+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下特

3、点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,y)三、例题选讲：变式：　顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．xyOFABB’A’X1+X2=？整体运算分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．拓展：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．证明：如图．所以EH

4、是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜XYO·P直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．特别提示：课堂演练：过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．回顾小结：1．抛物线y2＝2px的基本元素．基本点：顶点，焦点；基本线：

5、准线，对称轴；基本量：P（决定抛物线开口大小）．2．抛物线的几何性质．（1）范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．（3）顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；（4）离心率：抛物线的离心率e为1．xy(2)过抛物线的焦点做倾斜角为的直线l,设l交抛物线于A,B两点,(1)求

6、AB

7、;(2)求

8、AB

9、的最小值.练习：(1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,求被抛物线截得的弦长。思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？FAxyB