直线与平面垂直的性质定理

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1、直线与平面垂直的性质定理直线和平面垂直的定义:一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这个平面互相垂直．直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．唯一性公理一mA过一点有且只有一条直线和已知平面垂直唯一性公理二过一点有且只有一个平面和已知直线垂直mAB线线平行的性质定理：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．若a∥b，a⊥α则b⊥α．这个可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题．若a⊥α，b⊥α，则a

2、∥b．下面就让我们看看这个命题是否正确？已知：a⊥α，b⊥α求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？否定结论→推出矛盾→肯定结论证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的．

3、因此，a∥b．如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．这就是直线和平面垂直的性质定理；学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知：一条直线l和一个平面α平行．求证：直线l上各点到平面α的距离相等．分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l上任意取两点A、B，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可．证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1∵AA1⊥α，BB1

4、⊥α，∴AA1∥BB1（直线与平面垂直的性质定理）．设经过直线AA1和BB1的平面为β，β∩α＝A1B1．∵l∥α，∴l∥A1B1．∴AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等．我们再来学习直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．本利题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题．这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到得方法．2．思考（课后练习4）安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚

5、、地板平行？只要两条吊线等长．转化为数学模型是，如图1-76已知：直线l上A、B两点到平面α的距离相等，求证：l∥α．本题仿照例题2方法很容易证明，但以下的论述却是假命题，你知道是为什么吗？直线l上A、B两点到平面α的距离相等，那么l∥α．3．如图1-77，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求证：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地

6、画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．解：（1）连结BD交AC于O，∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG（五）归纳小结，强化思想本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．六、练习1．已知矩形

7、ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：（1）点C′到平面ABED的距离；（2）C′到边AB的距离；（3）C′到AD的距离．（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，则C′H⊥AB，2．如图1-79，已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．用到反证法，假设BE⊥平面SCD，∵AB∥CD；∴AB⊥BE．∴AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴BE不可能垂直于平面SCD．