初高中数学衔接专题立方和（差）公式、和（差）的立方公式

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1、专题立方和(差)公式.和(差)的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2:(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2。我们还可以通过证明得到卜•列-•些乘法公式:(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式-ab+b1)=a34-Z?3；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a+b+c)?=a2+/?24-c24-2(ab+be+ac)；(d+b)‘=a3+3cdb+3ab2+b3；(a一b)3=a3-3a2b--3ab?-b3。对上面列出的五个公式,冇兴趣的同学可以自己

2、去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算:(1)(3+2y)(9-6y+4尸)；(2)(5x——y)(25x2+—xy+—y2)；(3)(2兀+1)(4兀2+2x+1)。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和(差)公式，然后再计算.解：(1)原式=33+(2y)3=27+8/；(2)原式=(5^)3-(-y)3=125x3--/；28(3)原式=8兀彳+4%2+2兀+4兀$+2x+1=8兀’+8x~+4x+1。说明：笫(1)、(2)两题直接利用公式计算.第(3)题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公

3、式计算；若将第二个因式中“+2%”改成“-2x”则利用公式计算；若将第二个因式屮“+2兀”改成“+4x”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x+1)(2兀+1)2=(2兀+1)3=(2兀尸+3(2兀)2•]+3(2兀)-12+13=8x3+12x2+6x+l0例2计算：(1)(兀'—1)(兀°+兀彳+1)(兀9+1)；(2)(x+1)(兀一1)(无？+x+1)(兀~—兀+1)；(3)(兀+2y)2(x2一2xy+4)，)2；分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找岀满足立方和(差)的两个因式，是计算的关键.解：(1)原式=(x9-l)(x9+l)=x,8-l；(2)JWvi

4、-:=[(x+l)(x2-X+1)1[(x-l)(x2+X+1)1=(x3+l)(x3-1)=x6-1;您何去二：原式=(X+1)(%-l)[(x2+1)+x][(x2+1)_兀]=(x2-l)[(x2+l)2-x2]=(x2-l)(/+x2+l)=x6—1;(3)原式=[(兀+2)，)(兀2-2小+4员)]2=(x3+8y3)2=x6+16x3/+64/o说明：笫(2)、(3)题往往先用立方和(差)公式计算简捷.相反，如第(2)题的第二种解法就比较麻烦.例3因式分解：(1)&+125；(2)a-27a4；(3)x6—y6o分析：对照立方和(差)公式，正确找出对应的是解题关键，然后再利川立方

5、公式分解因式。解：(1)原式=(xy)3+53={xy+5)(x2y2-5xy+25)；(2)原式=d(l-27/)=a[F—(3g)3=a(-3a)(l+3a+9亍)(3)原式=(x3)2-(y3)2=(x3+y3)(x3-/)=(%+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+小+/)«说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致冇的同学分解不彻底。例4设兀+y=5,xy=-l,试求疋+)，的值。分析：对于立方和公式R+//=(d+b)(/-db+b2),我们不难把它变成：a3+b3=(ab)[(a+b)2-3ab],即a^b3=(a-^-b)3-3ab(a+b

6、)，再应用两数和、两数积解题较为方便。解:兀3+『3=(兀+刃3_3小(兀+y)=53-3x(-1)x5=140o说明：立方和(差)与和(差)的立方之间可以相互转化。例5如果ABC的三边a,b,c满足a3-a2b+ab2一ac2+be?-戾二0,试判断ABC的形状。分析：直接看不出三角形边Z间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解：因为—ab+cib^—+bc~—=0,所以/-b3+(-a2h+ah2)+(-ac2+be2)=0,即(a-b)(a2+ab+b2)-ab(a-b)-c2(a—b)=0,(a-b)(；+，-(？)=0,所以d=方或/+Z?2=c

7、2,因此ABC是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一•边利用因式分解进行恒等变形.练习1•计算：(1)(4+a)(16-4a+a?)；(2)(2a-—h)(4a2--—ah+—h2)；239(3)(―x—1)(0—x+1)；(4)兀(x—2,)~—(x~—2兀+4)(兀+2)°2.计算：(1)(x4-2)(x—2)2(x2—2兀+4)(%2+2x+4)；(2)(2兀+3)讥