专题2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊).pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：22（1）平方差公式(ab)(ab)ab；222（2）完全平方公式(ab)a2abb。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：2233（1）立方和公式(ab)(aabb)ab；2233（2）立方差公式(ab)(aabb)ab；2222（3）三数和平方公式(abc)abc2(abbcac)；33223（4）两数和立方公式(ab)a3ab3abb；33223（5）两数差立方公式(a

2、b)a3ab3abb。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算：2（1）(32y)(96y4y)；12512（2）(5xy)(25xxyy)；2242（3）(2x1)(4x2x1)。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.333解：（1）原式=3(2y)278y；313313（2）原式=(5x)(y)125xy；2832232（3）原式=8x4x2x4x2x18x8x4x1。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用

3、多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x”改成“2x”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x”改成“4x”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算23322332(2x1)(2x1)(2x1)(2x)3(2x)13(2x)118x12x6x1。例2计算：3639（1）(x1)(xx1)(x1)；22（2）(x1)(x1)(xx1)(xx1)；2222（3）(x2y)(x2xy4y)；1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分

4、析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.9918解：（1）原式(x1)(x1)x1；22336（2）解法一：原式[(x1)(xx1)][(x1)(xx1)](x1)(x1)x1；22解法二：原式(x1)(x1)[(x1)x][(x1)x]2222(x1)[(x1)x]242(x1)(xx1)6x1；222（3）原式[(x2y)(x2xy4y)]332(x8y)6336x16xy64y。说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.例3因式分解：33（1）xy12

5、5；4（2）a27a；66（3）xy。分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的a,b是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。3322解：（1）原式(xy)5(xy5)(xy5xy25)；3332（2）原式a(127a)a[1(3a)]a(13a)(13a9a)（3）原式323233332222(x)(y)(xy)(xy)(xy)(xxyy)(xy)(xxyy)。说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。33例４设xy5,xy1,试求xy的值。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3322分析：对于立方和公式ab(ab)(aabb)，我们不难把它变成：332333ab(ab)[(ab)3ab]，即ab(ab)3aba(b)，再应用两数和、两数积解题较为方便。3333解：xy(xy)3xy(xy)53(1)5140。说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。322223例5如果ABC的三边a,b,c满足aababacbcb0，试判断ABC的形状。分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。322223解：因为aababacbcb0，33

7、2222所以ab(abab)(acbc)0，222即(ab)(aabb)ab(ab)c(ab)0，222(ab)(abc)0，222所以ab或abc，因此ABC是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.练习1.计算：2（1）(4a)(164aa)；12212（2）(2ab)(4aabb)；3392（3）(x1)(xx1)；22（4）x(x2)(x2x4)(x2)。2.计算：222（1）(x2)(x2)(x2x4)(x2x4)；3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3（2）(2x3y)；13（3）(5b)；3323（4）(m1)(m