指、对数函数典型例题

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1、题型一　指数、对数的运算1．指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．例1　(1)化简：(2)计算：2log32－log3＋log38－.解　(1)原式

2、＝＝2－1×103×＝2－1×＝.(2)原式＝log34－log3＋log38－＝log3－＝log39－9＝2－9＝－7.跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．答案　111解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23＝×＝1，∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.题型二　数的大小比较数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单

3、调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．例2　比较下列各组数的大小：(1)40.9,80.48，－1.5；(2)log20.4，log30.4，log40.4.解　(1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数

4、，∴40.9>－1.5>80.48.(2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.44

5、log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(3)∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2a1.3.(4)∵y＝x3在R上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.题型三　复合函数的单调性1．一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调

6、函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上也是单调函数．2．对于函数y＝f(t)，t＝g(x)．若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．例3　已知a>0，且a≠1，试讨论函数f(x)＝的单调性．解　设u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，则当x≤－3时，其为减函数，当x>－3时，其为增函数，又当a>1时，y＝au是增函数，当01时，原函数f(x)＝在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数．当0

7、1时，原函数f(x)＝在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函数．跟踪训练3　讨论函数f(x)＝log0.2(3x2－2x－1)的单调性．解　由3x2－2x－1>0得函数的定义域为{x

8、x>1或x<－}．令u＝3x2－2x－1，则y＝log0.2u.∵y＝log0.2u在(0，＋∞)上是减函数，而u＝3x2－2x－1在(－∞，－)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝log0.2(3x2－2x－1)在(－∞，－)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．题型四　幂、指数、对数函数的综合应用指数函数与对数函数性质的对比：指数函数、对数函数是一对“

9、姊妹”函数