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《数学建模讲座之五---插值和拟合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、MATLAB使用之二插值问题与拟合问题应用数学学院高崇山9/9/2021数学建模插值与拟合的关系插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分： 他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过“窥几斑”来达到“知全豹”。 简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1,λ2,…,λn),使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在
2、统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。 从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑
3、的)连续曲面来穿过这些点。9/9/2021数学建模插值的主要内容1.各种插值方法1.1Lagrange插值法1.2分段插值法1.3三次样条插值法1.4二维插值2.插值的Matlab实现2.1一维插值2.2二维插值3.建模实例：水塔流量的估计9/9/2021数学建模1.1Lagrange插值已知y=f(x)（该函数未知）在互异的n+1个点x0,x1,x2,…,xn处的函数值y0,y1,y2,…,yn,则构造一个过n+1个点（xk,yk）k=0,1,2,…,n的次数不超过n的多项式y=Ln(x)，（称为插值多项式）使其满足Ln(xk)=yk（称为插值条
4、件）然后用y=Ln(x)作为准确函数y=f(x)的近似值。此方法称为插值法。Theorem：满足插值条件的次数不超过n的多项式是唯一存在的。9/9/2021数学建模Lagrange插值多项式的构造显然，Ln（x）就是满足插值条件的n次多项式上式称为基函数9/9/2021数学建模Lagrange插值程序functiony=lagr(x0,y0,x)%lagrange插值法的程序（x0，y0)表示已知的n个节点%x表示m个插值点y表示对应于x的m个插值n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=
5、1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end9/9/2021数学建模Lagrange插值法的缺点多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的，但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次数也会升高，可能造成插值函数的收敛性和稳定性变差。如龙格（Runge）现象。在[-1,1]上用n+1个等距节点作插值多项式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y=1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时，插值多项式在区间的中间部分趋
6、于y(x)，但对于满足条件0.728<
7、x
8、<1的x，Ln(x)并不趋于y(x)在对应点的值，产生了Runge现象。9/9/2021数学建模Runge现象的程序(1)clc;clf;clearall;m=21;x=-1:1/(m-1):1;y=1./(1+25*x.^2);z=0*x;n=3;x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x);subplot(2,2,1),plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),holdon%原曲线plot(x,y1,'b'),gtext('L4(x)',
9、'FontSize',12),pause%Lagrange曲线n=5;x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x);subplot(2,2,2),plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),holdon%原曲线plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause%Lagrange曲线9/9/2021数学建模Runge现象的程序(2)n=7;x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x);
10、subplot(2,2,3),plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),holdon,%原曲线plot(x,y1,'
