【精品】泛函分析

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1、点集拓扑学拓扑是英文Topology的译音，Topology一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科.第一个使用此名称的是姜立夫（1890—1978.1911年赴美，1918年获哈佛大学博士学位，留校任教，后回国，1920年南开大学教授，1934—1936在德国访问，后一直在中山大学任教.他培养了陈省身等世界著名数学家•）•而topology是由希腊语topos（位置）和logos（学问）合成.发明此词的是德国人Listing（1828—1882,Gauss的学生和助手），即表示形状和位置关系的数学（位置分析）•拓扑学是

2、新三基之一（泛函分析.近世代数.拓扑学）.（旧三基：数学分析.高等代数.解析几何）•拓扑学是一门综合学科（即包含有分析.代数和几何的内容）•分析：分析中有三大问题：1）连续性；2）介值定理；3）有限覆盖定理.在拓扑学中将1）连续性推广到一般集合；2）是连通集的特性；3）推广为紧致性.代数：在拓扑学有很多代数概念，如群、同态、同构等.几何：以前称拓扑学为橡皮（弹性）几何学.按德国数学家Klein（1849—1925）关于几何分类的变换群观点知：欧氏几何是研究图形在刚体运动下不变的性质（或量）的数学（图形大小和形状不变）・解析几何是

3、研究图形在坐标变换下不变的性质（或量）的数学.仿射几何是研究图形在仿射变换下不变的性质（或量）的数学.射影几何是研究图形在射影变换下不变的性质（或量）的数学.而拓扑学是研究拓扑空间及其子集在拓扑变换（同胚变换）下不变的性质（或量）的数学.故拓扑学属几何范畴（橡皮膜上的几何）•拓扑学是数学的一个重要分支.起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支.拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支.即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学、直观拓扑学和模糊拓扑学等.目前，拓扑

4、学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.拓扑学对近代数学的学习起着很大的作用，有人甚至说:“不懂得拓扑，就不懂得现代数学”•研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，或基础拓扑学.它是拓扑学的基础.本课程介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.第0章拓扑学的直观例子§0.1七座冋题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥•如图1所示：河中的小岛A与河的对岸B、C各有两座桥相连结，河中两支流

5、间的陆地D与A.C各有一座桥相连结•当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题（有7!=5040种走法）・此七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注.1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告.在报告中，他把具体七桥布局化归为图1所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不

6、准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的无解的.虽然使人们感到失望，但由此创立了一门新的数学分支一拓扑学.结论是:图1是不能一笔画出的图形•这就是说，七桥问题是著名数学家欧拉图1§0.2网络的一笔画问题定义由有限个点和有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点.这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点•由顶点出发的弧的条数叫做此顶点的次顶点.网络中互相衔结的一串弧叫做一条路•如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连数，若一顶点次数为偶数或奇数,则称此顶点为偶顶点或奇通的；否则称

7、为不连通的.可以证明定理1在任一网络中奇顶点个数之和必为偶数.定理2任一网络若有两个以上的奇顶点，则不能一笔画成.定理3若一连通网络没有奇顶点，则可由任一点任一弧开始一笔画成•定理4若一连通网络有两个奇顶点，贝U它可被从某一奇顶点出发到另一奇顶点终止一笔画成・注1）定理2否定了七桥问题可一次走完.2）现在在B，D之间加了一座桥，那么八桥一次走完就可能了・又在B，C之间加了一座铁路桥，九桥问题又如何?3）如图:§0.3平面网络的EuIer公式Euler定理在连通平面网络中，若顶点数，边数和网络分平面所得的区域数（即面数）分别为则有

8、Euler公式V-E+F=2>§0.4凸多面体的Euler公式这是Euler在1750年写信给好友Goldbach（德1690-1764）时提出来的，并于1752年发表了一个证明•即Euler定理若一凸多面体的顶点数，棱数和面数分别为v,e,f,则有Euler公