［推荐精品］泛函分析讲义.doc

《［推荐精品］泛函分析讲义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第二讲：距离空间中的点集关键词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包；稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质；介绍可分空间的定义一、开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间小去。定义1・设x0e(X,/7),r>0,以％为屮心，以厂为半径的开球S(x0,r)称为％的一个球形邻域，简称为邻域。设GuX,xwG,若存在x的一个邻域S(x°,厂)uG,则称兀是G的一个内点。若G屮每一个点都是它的内点，则称G为开集。例1・开球都是开集。证明:设S(x0,r)为开球。任取兀wSOo,厂)，即/X兀，兀o)<厂,令£=厂-。0*0

2、)，Vy€S(X,£),即/?(兀,y)V£,贝!

3、°(兀0,y)

4、'是开集。/=1对VxeP

5、G,-,贝ljXgGti=1,2,...,n,由G,是开集，则存在x的一个邻域/=!SCx,/;)uGf,令厂=min｛斤，厂2,…,乙｝，则从血S(x,厂)uS(兀,匚)，i-1,2,...,/z.从而HHS(w)u「

6、G「所以为开集。/=!/=1定义2设X=(X,q),4uX,x0gX,若兀。的任何£-邻域S(x°,刃满足(SOo,刃-｛Xo｝cAH0,，则称兀0是A的一个聚点。其等价条件为：(2)x0的任何£-邻域SO%)都含有A的无穷多个点;(3)3xneA,xnx0,但a;,->x0.第二讲：距离空间中的点集关键词：领域、内

7、点、开集、聚点、导集、闭集、闭包；稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质；介绍可分空间的定义一、开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间小去。定义1・设x0e(X,/7),r>0,以％为屮心，以厂为半径的开球S(x0,r)称为％的一个球形邻域，简称为邻域。设GuX,xwG,若存在x的一个邻域S(x°,厂)uG,则称兀是G的一个内点。若G屮每一个点都是它的内点，则称G为开集。例1・开球都是开集。证明:设S(x0,r)为开球。任取兀wSOo,厂)，即/X兀，兀o)<厂,令£=厂-。0*0)，Vy€S(X,£),即/?(兀,y)

8、V£,贝!

9、°(兀0,y)

10、G,-,贝l

11、jXgGti=1,2,...,n,由G,是开集，则存在x的一个邻域/=!SCx,/;)uGf,令厂=min｛斤，厂2,…,乙｝，则从血S(x,厂)uS(兀,匚)，i-1,2,...,/z.从而HHS(w)u「

12、G「所以为开集。/=!/=1定义2设X=(X,q),4uX,x0gX,若兀。的任何£-邻域S(x°,刃满足(SOo,刃-｛Xo｝cAH0,，则称兀0是A的一个聚点。其等价条件为：(2)x0的任何£-邻域SO%)都含有A的无穷多个点;(3)3xneA,xnx0,但a;,->x0.证明：(i)=>(2)：若存在X。的一•个邻域sa°,£),里面只含有人的有限个

13、点兀]，兀2,……xn-不妨认为它们都异于兀0•取/=min{pO],兀o),Q(兀2,兀0)……p(xn,x0)}。则{S(兀°,5)-氐}}PlA=0.这与xQ是A的聚点相矛盾o⑵=>(1)：显然。(1)^(3)：设X。是A的聚点，取6；,则X。的邻域Sa。,-)屮必含有A的点n兀“工兀0,所以。(兀“，兀0)<£“=一,令>00,则有limx„=x0.n(3)=>(1)：设S(兀o，£),为兀°的一个邻域,由乙一>兀0,X”学X©,知存在N,当〃>N时,P(Xn,X0)

14、/TuA,则称A为闭集。