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1、导数在研究函数中的应用知识讲解1.函数的单调性在某个区间(0")内，如果f⑴o,那么函数)=几0在这个区间内单调递增;如果f⑴o,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)判断/Uo)是极值的方法一般地，当函数几丫)在点也处连续时，①如果在也附近的左侧,右侧,那么几丸)是极大值；②如果在总附近的左侧,右侧,那么用“是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求fW；②求方程的根；③检查f(X)在方程的根左右值的符号.如果左正右负，那么人力在这个根处取得:如果左负右正，那么夬x)在这个根处取得.3.函数的最值(1)在闭区I'可［a,b］上连续的函数7U)
2、在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数用)在⑷b］上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在⑷切上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.(3)设函数在［d,切上连续，在(d,b)内可导，求夬兀)在⑷切上的最大值和最小值的步骤如下：①求夬尤)在(a,b)内的;②将;W的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.［难点正本疑点清源］1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.2.可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点
3、，如函数在兀=0处导数为零，但x=0不是极值点.3.函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性.课前自测1..心）=3兀一”的单调减区间为.2.函数J{x）=e-x在区间（一I0）内是单调（填“增函数”或“减函数”）.3.函数J（x）=x3+ax—2在（1,+°°）上是增函数，则实数a的取值范围是.4.如图是y=j（x）导数的图象，对于下列四个判断：①/⑴在［一2,—1］上是增函数；y®x=~是/U）的极小值点；①/⑴在［一1,2］上是增函数，在［2,4］上是减函数；②r=3是夬尤）的极小值点.'其中正确的判断是.（填
4、序号）5.设dGR,若函数y=e'+o¥,有大于零的极值点，则B.a>—1c.Q—?.a<—1D.g—g题型讲解题型一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数几丫）=〃捉+启伽、圧R,也工0）,函数y=7U）的图象在点（2,几2））处的切线与兀轴平行.（1）用关于加的代数式表示仏（2）求函数心）的单调增区间.探究提高利用导数求函数几v）的单调区间的一般步骤为:⑴确定函数7U）的定义域；（2）求导数f（x）；⑶在函数沧）的定义域内解不等式f⑴＞o和f（%）＜o；⑷根据⑶的结果确定函数Ax）的单调区间.变式训练1已知函数Xx)=?+^2+/2x+c在无=1处取得极值一
5、2.⑴试用c表示a,b；(2)求夬X)的单调递减区间.题型二利用导数研究函数的极值【例2】(2010-大纲全国II)已知函数yW=/-3a/+3x+l.(1)设d=2,求/W的单调区间；(2)设7U)在区间(2,3)屮至少有一个极值点，求a的収值范围.探究提高(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)本题的易错点为不对1—/讨论，致使解答不全面.变式训练2(2011•安徽)设何=7^壬，其中Q为正实数.4(1)当0=亍吋，求几丫)的极值点;⑵若几无)为R上的单调函数，求。的取值范围.题型三利用导
6、数求函数的最值【例3】已知惭数J（x）=x3+ax2+bx+5,记/⑴的导数为f⑴.2⑴若曲线.心）在点（1，.川））处的切线斜率为3,且兀=亍时）=/（劝有极值，求函数.心）的解析式;（2）在⑴的条件下，求函数几丫）在［一4,1］上的最大值和最小值.探究提高在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=/U）在［a,b］内所有使（兀）=0的点，再计算函数y=J（x）在区间内所有使f（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.变式训练3（2011>1西）设用:）=—$+芬2+2药2⑴若7W在（彳，+8）上存在单调递增区
7、间，求。的取值范围;⑵当0SV2时，用:）在［1,4］上的最小值为一亍求夬兀）在该区间上的最大值.真题：(14分)已知函数f(x)=Inx~ax(aR).(1)求函数人力的单调区间；(2)当d>0时，求函数.心)在［1,2］上的最小值.方法与技巧1.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意头判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.失误与防范1.求函数单调区间与函数极值时要养成
