2-2.1位姿描述

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1、机器人学基础第二章位姿描述与齐次变换主要内容：刚体位姿描述1坐标变换2齐次坐标和齐次变换3物体的变换及逆变换4通用旋转变换5上海电机学院机械学院多自由度上海电机学院机械学院引言机器人要完成相应任务，需要末端执行器能够准确找到操作对象的位置，因此需要各个关节的协调运动，将手部运送至指定位置。各关节如何运动才能保证手部准确运动到相关位置呢？运动学问题位姿描述上海电机学院机械学院概念：刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿。位姿描述齐次变换法矢量法旋量法四元数法上海电机学院机械学院2.1刚体位姿描述1.

2、位置描述{位置矢量}对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量表示。注意：(1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。(2)AP为位置矢量。上海电机学院机械学院2.方位的描述{旋转矩阵}Orientation(1)矢量的方向V为空间任意矢量。V的方向可由该矢量与三个坐标轴夹角的方向余弦来表示。注意：(1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。(2)AV为方向矢量。上海电机学院机械学院为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦

3、组成3×3矩阵。该矩阵即表示刚体B相对于坐标系｛A｝的方位。注意：(1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。(2)下角标B代表被描述的坐标系｛B｝。(2)刚体的方向上海电机学院机械学院2个常用的公式：上海电机学院机械学院矩阵性质：绕x、y、z旋转θ的旋转矩阵分别为上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即上海电机学院机械学院这些旋转变换可以通过右图推导（以绕z轴旋转为例）这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.上海电机学院机械学院旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系{B}相对于参考

4、坐标系的姿态.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标.3)可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.上海电机学院机械学院3.位姿的描述为了完全描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将物体B与某一坐标系｛B｝相固接。｛B｝的坐标原点一般选择物体B的特征点上，如质心、对称中心等。刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即注意：当表示位置时，旋转矩阵为单位矩阵；当表示方位时，位置矢量为零。刚体位姿(即位置和姿态)：用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示.

5、上海电机学院机械学院空间任一点P在不同坐标系中的描述是不同的。下面讨论从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系。2.2坐标变换坐标平移1坐标旋转2一般变换3上海电机学院机械学院2.2坐标变换1.坐标平移设坐标系｛B｝与｛A｝具有相同的方位，但是两个坐标原点不重合，用位置矢量描述它相对于｛A｝的位置。把称为｛B｝相对于｛A｝的平移矢量。如果点p在坐标系｛B｝中的位置为，则它相对于坐标系｛A｝的位置矢量可由矢量相加得出，即上式称为坐标平移方程。上海电机学院机械学院例：坐标系｛A｝与｛B｝具有相同

6、的方位，但两坐标系原点不重合。其中为[1,1,1]T。假设点P在{B}中的描述为，求该点在坐标系{A}中的描述。上海电机学院机械学院2.坐标的旋转坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:坐标旋转方程用旋转矩阵表示坐标系{B}相对于{A}的方位。同样，用描述坐标系{A}相对于{B}的方位。上海电机学院机械学院3.一般变换一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:上式可看成是坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过渡坐标系{C}。{B}向{C}的变换为

7、{B}向{C}的变换为{C}向{A}的变换为上海电机学院机械学院例已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置.上海电机学院机械学院2.3齐次坐标刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即非方阵齐次坐标上海电机学院机械学院概念：将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次

8、坐标。位姿描述——齐次坐标注意：(1)点的齐次坐标齐次坐标齐次坐标的表示不是惟一的。上海电机学院机械学院位姿描述——齐次坐标规定：(1)(4×1)列阵[abcω]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；(2)(4×1)列阵[abc0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1，则表示某轴(矢量)的方向；(2)矢量(坐标轴)方向的齐次坐标X、Y、Z三个坐标轴方向的齐次坐标为：上海电机学院机械学院空间任意矢量v的方向可用4*1列阵表达为矢量