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《【核按钮】（新课标）2017高考数学一轮复习第十二章算法初步、推理与证明12.5数学归纳.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§12.5数学归纳法」（◎考点梳理,厂多思劫笔夯实基础»1.数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数刀冇关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠棊）证明当〃取第一个值汕心）时命题成立；（2）（归纳递推）假设胆N*）时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从巾开始的所有都成立.2.数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与冇关的数学命题，证明时，它的两个步骤（归纳奠棊与归纳递推）缺一不可.自查白纠1.(2)/?=£n=k+正整数〃2.正整数基万出自测小易全活牛刀小试»O用数学归纳法证明1+2+2+・・・+占<刀（用心刃〉1）时，第一步应验证不等式（
2、）A.1+
3、<2B.1+
4、+
5、<2C.1+
6、+
7、<3D・1+++*+*3解：V/?eN刀＞1,・•・〃取的第一个数为2,左端分母最人的项为故选B.1+•・・+*(用NJ,Ln那么A/7+D-A/7）等于（1A，2/2+1C丄+丄2/?+1〒2〃+212卄211D，2/?+1一2〃+2解：血+1）—心）=［（卄;）+］+（卄；）+2+・・・+/+治+2（Jh）「—［缶+忌+・・・+曲2/?+1+2(/?+!)_7+7=2/?+1_2/?+2,故选°，❸（2013•黑龙江模拟）设是定义在正整数集上的函数，且f（0满足：“当AA）^k+1成立时，总可推111fk+l）^k+2成立”.那
8、么，下列命题总成立的是（）A.若A1X2成立，则A10X11成立B.若f（3）>4成立,则当斤21时，均有AA）>A+1C.若A2X3成立，则f（l）>2成立D.若f（4）25成立,则当斤24时，均有/U）^k+1成立解：根据题意,若f(4)N5成立，则/U+1)M%+2(%M4),即/W»+1(Q5)・综合f⑷M5,可知当&24时，均冇f(k)^k+l成立.故选D.❹已知数列7x^,'^x3,3x7?n(/?+1)，通过计算得S=*,$=彳,$=#,由此可猜测S“=.解法•：通过变化规律猜测$=沽・解丛一•：&=73<2+2><3+3X4+***+z?(/?+1)=(T+卜寻+卜》
9、+…+£—冶卜k+l=2(2£+1)(斤+1)(斤+2)(斤+3)(£+&).观察、比较可知，从n=k到〃=£+1,等式的左边需要增乘的代数式是2(2斤+1).故填2(2A+1).£(◎典例解析分类解析触类旁通»类型一证明等式2”—1茶士?+出+…+知用10・证明：⑴当刀=1吋，左边=1—*=£右边=*,等式成立.(2)假设/7=HWWN*)时等式成立，即宀冲-圧7-棊缶+缶+•洛那么，当n=k+1时，—丄+丄—丄+・・・+丄—丄+丄—丄2342«-12£2£+12W+2=丄+丄+・・・+丄+丄—丄&+1&+22&2&+12W+2=丄+丄+・・•+丄+丄+丄斤+2斤+3丁2厂2&+1
10、2W+2，根据⑴和⑵，可知等式对任何用N*都成立.【点拨】用数学归纳法证明为正整数刀有关的一些等式吋，关键在于“先看项”,弄清从心斤到n=k+吋等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式.求证：12-22+32-42+-+(2/7-1)2-(2/7)2=—刀(2刀+1)sgnJ.证明：①刀=1吋，左边=12—2'=—3,右边=—3,等式成立._^T=^+T-故填命❺用数学归纳法证明"(/?+!)(刀+2)(/?+/?)=2"•1•3(2/7—1)(刀WN*)”时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是.解：当n=k时，等式左边=(«+1)(&+2)
11、(&+Q,当n=k+时，等式左边=(«+2)(&+3)(A+1+A+1)=(&+1)(&+2)(&+3)(&+&)(&+&+1)(&+W+2)②假设n=k时，等式成立，即l2-22+32-42+-+(2A-l)2-(2A)2=-A(2A+1).当n=k+l时，才+32—毕+・・・+(2斤一1尸一(2«)2+(2&+1)2—(2&+2尸=—«(2斤+1)+(2斤+1)2—(2*+2)2=—A(2A+1)—(4A+3)=—(2护+5A+3)=—(彳+1)[2(&+1)+1],所以/?=&+1时，等式也成立.由①②得，等式对任何/?eN+都成立.类型二证明不等式已知应)=1+尹尹孑+・・
12、・+?如亍看,M⑴当〃=1,2,3时，试比较f(z?)与g(z?)的大小关系;(2)猜想f5)与g(〃)的大小关系,并给出证明.解:(1)当〃=1时，f(l)=l,g(l)=l,所以Hl)=g⑴;911当n=2时，/*(2)=-,g(2)=—,所以/*(2)〈g(2)；当/7=3时，A3)=
13、
14、
15、,£⑶=界所以f(3)
