2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：平面向量与复数　平面向量的概念与线性运算（含答案）

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1、第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算1.下面有5个命题：①单位向量的模都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a、b满足a＞b且a与b同向，则a＞b；④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；⑤对任意非零向量a、b必有a＋b≤a＋b.其中正确的是________．[填序号]答案：①④⑤解析：①单位向量的模均为1，故①正确；②共线包括同向和反向，故②不正确；③向量不能比较大小，③不正确；④根据向量的表示，④正确；⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确．2.如图所示，在△ABC

2、中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝________[用a、b表示]．答案：－a＋b解析：＝＋＝＋＝＋[＋]＝＋＋·＝－＋×＝－＋[＋]＝－＋＝－a＋b.3.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－[b－2a]共线，则λ＝________．答案：－解析：依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k[2a－b]，则有[1－2k]a＋[k＋λ]b＝0，所以解得k＝，λ＝－.4.在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足＋＋＝0.＝λ，则实数λ的值为________．答案：－2解析：如图所示，由＝λ，

3、且＋＋＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．答案：解析：因为＝＋，又＝＋，＝＋，所以＝λ＋μ＝＋，得到λ＋μ＝1，λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝.6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案：解析：设＝y，＝x，则＝＋＝－①，＝＋＝＋②，①×y＋②×x得＝＋，令＝，得y＝x，代入得m＝.7.△ABC中，A

4、B边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，a＝1，b＝2，则＝________．[用a、b表示]答案：a－b解析：如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝.又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝.∴＝＝[a－b]＝a－b.8.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________．答案：3解析：由已知条件得＋＝－.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△A

5、BC的重心.＝＝[＋]，即＋＝3，则m＝3.9.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2，因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝[λ＋2μ]e1＋[3λ＋μ]e2，而＝＋＝2e1＋3e2，所以所以所以＝，所以＝.所以AP∶PM＝4∶1.10.如图所示，已知△ABC的面积为14cm2，D、E分别是AB

6、、BC上的点，且＝＝2，求△APC的面积．解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.因为点A、P、E和点D、P、C均三点共线，所以存在λ和μ，使得＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又因为＝＋＝a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8[cm2]，S△PBC＝14×＝2[cm2]，故S△APC＝14－8－2＝4[cm2]．11.如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？请证明你的结论．解：

7、＋为定值，证明如下：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，＝＝[＋]＝[a＋b]，所以＝－＝[a＋b]－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.因为与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋b＝λ[－xa＋yb]＝－λxa＋λyb，又因为a与b不共线，所以消去λ，得＋＝4为定值．