高中数学第1章全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定学案北师大版

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1、3.1　全称量词与全称命题3.2　存在量词与特称命题3.3　全称命题与特称命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义．(重点)　能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)　能判断含一个量词的命题的真假．(易混点)1．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样

2、的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考：在全称命题和特称命题中，量词是否都可以省略？[提示]　在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．3．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定是全称命题．1.判断正误(1)任意x∈R，x>0的否定是存在x∈R，x<0.(　　)(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．(　　)(3)“三角形内角和是180°”是全称命题．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2.下列命题是

3、全称命题的个数是(　　)①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有的等差数列是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3D　[①②④是全称命题，故选D.]3.“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)有些　存在　[含的量词是有些，为存在量词．]4.命题p：存在x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定

4、为：________．[答案]　特称命题　假　任意x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题、特称命题及其真假判断【例1】　(1)有下列四个命题：①任意x∈R，2x2－3x＋4>0；②任意x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；③存在x0∈N，x≤x0；④存在x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2C．3D．4(2)指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．①对任意实数x，都有x2＋1＞0；②存在一个自然数小于1；③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x，使

5、sinx＋cosx＝.C　[(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以任意x∈R，2x2－3x＋4>0，故①正确；因为x＝－1时2x＋1＜0，所以任意x∈{1，－1，0}，2x＋1>0错误，故②错误；当x＝0时x≤x0，所以存在x0∈N，x≤x0，故③正确；因为1，29均为29的约数，所以存在x0∈N*，x0为29的约数，故④正确．所以真命题的个数为3.](2)[解]　①全称命题．由x2≥0，知x2＋1＞0，所以①是真命题．②特称命题．由于0∈N，且0＜1，所以②是真命题．③全称命题．由于有一

6、个角为60°的菱形对角线不相等，所以③是假命题．④特称命题．由于sinx＋cosx＝sin≤＜，所以④是假命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．2．要判断全称命题“对任意x∈M，p(x)成立”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．3．要判断特称命题“存在x∈M，使p(x)成立”是真命题，只要在集合M

7、中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，否则，这一命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．](2)判断下列命题的真假．①在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y

8、)都对应一点P；②存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；③每一条线段的长度都能用正有理数来表示；④存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；[解]　①真命题．②真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．③假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．④假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．全称命题与特称命题的否定【例2】　写出下列命题的否定．(1)p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3