2017_18学年高中数学第二章参数方程2.3.2_2.3.3抛物线双曲线的参数方程学案

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1、2．3.2&2.3.3　抛物线、双曲线的参数方程[读教材·填要点]1．抛物线的参数方程抛物线y2＝2px的参数方程为.2．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是，参数θ的取值范围为0≤θ≤2π且θ≠，θ≠.(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是,0≤θ≤2π.[小问题·大思维]1．在双曲线的参数方程中，θ的几何意义是什么？提示：参数θ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x对应的参

2、数形式是asecθ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是asecθ，则焦点在y轴上．3．若抛物线的参数方程表示为则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．抛物线参数方程的应用[例1]　连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使

3、OM

4、＝

5、MP

6、，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．8[思路点拨]　本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．[精解详析]　设M(x，y)为抛物线

7、上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为由中点坐标公式得变形为y0＝x，即x2＝4y.它表示的为抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．1．已知曲线C的参数方程为α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin＝－.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．解：

8、(1)由α∈[0,2π)得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．(2)由ρsin＝－得曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.由得x2－x－3＝0.解得x＝∉[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.双曲线参数方程的应用[例2]　在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.[思路点拨]　本题考查双曲线的参数方程的应用．解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出M点的坐标，建立方程求解．[精解详析]　设M的坐标为(secθ，tanθ)，由M到直线x－y＝0的距离为，得8＝.整理得

9、－

10、＝2，

11、1－sinθ

12、＝2

13、cosθ

14、

15、.平方得1－2sinθ＋sin2θ＝4(1－sin2θ)．即5sin2θ－2sinθ－3＝0，解得sinθ＝1或sinθ＝－.sinθ＝1时，cosθ＝0(舍去)．sinθ＝－时，cosθ＝±.∴M的坐标为或.参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．2．如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明

16、PF1

17、·

18、PF2

19、＝

20、OP

21、

22、2.证明：∵P在双曲线x2－y2＝1上，∴设P(secφ，tanφ)．∵F1(－，0)，F2(，0)，∴

23、PF1

24、＝＝，

25、PF2

26、＝＝.8

27、PF1

28、·

29、PF2

30、＝＝2sec2φ－1.∵

31、OP

32、2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴

33、PF1

34、·

35、PF2

36、＝

37、OP

38、2.圆锥曲线的参数方程的综合应用[例3]　如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[思路点拨]　本题考查椭圆及双曲线的参数方程．解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出

39、椭圆的参数方程求解即可．[精解详析]　∵－＝1，∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.∴方程为＋＝1.设椭圆上一点P(5cosθ，3sinθ)，双曲线一渐近线为3x－4y＝0，∴点P到直线的距离d＝＝.∴dmax＝.对于同一个方程，确定的参数不同，所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．已知定点A(1,0)，F是曲线(0≤θ≤2π)的焦点，则

40、AF

41、＝________.解析：曲线(0≤θ≤2π)的普通方程为x2＝2y

42、，所以焦点F，又A8(1,0)，所以

43、AF

44、＝＝.答案：一、选择题1．下列在曲线(0≤θ≤2π)上的点是(　　)A.　　　　　　　　B.C．(2，)D．(1，)解析：选B　转化为普通方程：y2＝1＋x(

45、y

46、≤)，把选项A，B，C，D代入验证得，选B.2．下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是(　　)A.－