2017_18学年高中数学第二章参数方程2.2.1直线的参数方程学案

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1、2．2.1　直线的参数方程[读教材·填要点]1．直线的参数方程：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．2．过点M0(x0，y0)且与平面向量a＝(l，m)平行的直线l的参数方程为t∈R当M0M―→与a同向时，t取正数；当M0M―→与a反向时，t取负数．[小问题·大思维]1．经过点M(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？提示：根据直线参数方程的定义，易得即2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为何值？提示：

2、直线l的参数方程可化为故直线的斜率为tan＝－1.直线参数方程的求法[例1]　已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离．[思路点拨]　本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后写出直线l的参数方程．[精解详析]　由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为.设直线的倾斜角为α，7则tanα＝，sinα＝，cosα＝.又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在

3、直线l上．由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式，可得

4、PN

5、＝＝.直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tanα，α为直线的倾斜角，代入上式，得y－y0＝·(x－x0)，α≠，即＝.记上式的比值为t，整理后得1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为将它代入3x＋2y－6＝0得3＋2＝6，解得t＝－，∴

6、MP0

7、＝

8、t

9、＝.直线的参数方程的应用(直线与圆)7[

10、例2]　已知直线的参数方程为它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．(1)求

11、AB

12、的长；(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．[思路点拨]　本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．[精解详析]　(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－.所以，线段

13、AB

14、的长为

15、t1－t2

16、＝5＝.(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为＝－.所以，由t的几何意义可得

17、点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为·＝.不用求出A，B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB及点P到AB中点C的距离．2．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.(1)写出直线l的参数方程．(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程为即(2)把代入x2＋y2＝4，得(1＋t)2＋(1＋t)2＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.7直线的参数方程的应用(直线与圆锥曲线)[例3]　过点P(，0)作倾斜

18、角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求

19、PM

20、·

21、PN

22、的最小值及相应的α的值．[思路点拨]　本题考查直线与椭圆的位置关系．解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析]　设直线的参数方程为t为参数，代入曲线方程并整理得(1＋sin2α)t2＋(cosα)t＋＝0，则

23、PM

24、·

25、PN

26、＝

27、t1t2

28、＝，所以当sin2α＝1时，即α＝时，

29、PM

30、·

31、PN

32、的最小值为，此时α＝.直线的参数方程中，参数t具有明显的几何意义，搞清参数t的几何意义是解决此类问题的关键．3．已知椭圆的参数方程(0≤θ≤2π)，求椭

33、圆上一点P到直线的最短距离．解：由题意，得P(3cosθ，2sinθ)，直线：2x＋3y－10＝0.d＝＝，而6sin－10∈[－6－10,6－10]，∴∈.7∴dmin＝.一、选择题1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为(　　)A.　　　　　　　　　　B．－C.D．－解析：选D　k＝＝－＝－.2．直线l的参数方程为l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为(　　)A．

34、t1

35、B．2

36、t1

37、C.

38、t1

39、D.

40、t1

41、解析：选C　点P1对应的点的坐标为(a＋t1，b＋t1)，∴

42、PP1

43、＝＝＝

44、t1

45、.3．下列可以作为直线2

46、x－y＋1＝0的参数方程的是(　　)A.B.C.D.解析：选C　题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两