2017_18学年高中数学第二章参数方程2.3.1椭圆曲线的参数方程学案

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1、2．3.1　椭圆的参数方程[读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是,0≤t≤2π.中心在M0(x0，y0)的椭圆＋＝1的参数方程是0≤t≤2π.[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1的参数方程是什么？提示：由得即参数方程为(0≤φ≤2π)．2．圆的参数方程中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？提示：圆的参数方程(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是

2、点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．利用椭圆的参数方程求最值[例1]　已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．[思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A8点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．[精解详析]　∵椭圆方程为＋＝1，∴可设A点的坐标为(10cosα，8sinα)，则

3、AD

4、＝20

5、cosα

6、，

7、AB

8、＝16

9、sinα

10、.∴S矩形＝

11、AB

12、·

13、AD

14、＝20×16

15、s

16、inα·cosα

17、＝160

18、sin2α

19、.∵

20、sin2α

21、≤1，∴矩形ABCD的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2φ的最大值与最小值．解：椭圆＋＝1的参数方程为0≤φ≤2π.代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0).所以zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程求轨迹方程[例2

22、]　由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．[思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标即可求得轨迹．8[精解详析]　椭圆＋＝1的参数方程为(0≤θ≤2π)，∴设M(2cosθ，3sinθ)，P(x，y)，∴消去θ，得＋＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭

23、圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，所以＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C

24、上的动点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝，y＝，所以x＋＝cosθ，＝sinθ.消去θ，得(x＋)2＋＝1.利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题8[例3]　已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：

25、OP

26、·

27、OQ

28、为定值．[思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1，B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出

29、OP

30、·

31、OQ

32、即可．[精解详析]　设M(

33、2cosφ，sinφ)(0≤φ≤2π)，B1(0，－1)，B2(0,1)，则MB1的方程：y＋1＝·x.令y＝0，则x＝，即

34、OP

35、＝.MB2的方程：y－1＝x，∴

36、OQ

37、＝.∴

38、OP

39、·

40、OQ

41、＝×＝4.即

42、OP

43、·

44、OQ

45、＝4为定值．(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．3．求证：椭圆(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c2＝a2－b2)．证明：M，F的坐标分别为(acosθ，bs

46、inθ)，(－c,0)．

47、MF

48、2＝(acosθ＋c)2＋(bsinθ)2＝a2cos2θ＋2accosθ＋c2＋b2－b2cos2θ＝c2cos2θ＋2accosθ＋a2＝(a＋ccosθ)2.∴当cosθ＝1时，

49、MF

50、2最大，

51、MF

52、最大，最大值为a＋c.[对应学生用书P33]8一、选择题1．椭圆(0≤θ≤2π)的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C　由椭圆的参数方程