2017_18学年高中数学第二章参数方程一3参数方程和普通方程的互化教学案

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1、3.参数方程和普通方程的互化　　　　　　　　　　　　参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．　　　　　　　　　　　　把曲线的普通方程化为参数方程[例1]　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)＋＝1，x＝cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)[解]　(1)将x＝cosθ＋1代入＋＝1

2、得：y＝2＋sinθ.∴(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1∴(t为参数)这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tanθ(θ为参数)，则参数方程为6(θ为参数)．1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tanθ(θ≠，k∈Z)．解：(1)将x＝t代入xy＝1

3、得：t·y＝1，∵t≠0，∴y＝，∴(t为参数，t≠0)．(2)将x＝tanθ代入xy＝1得：y＝.∴(θ为参数，θ≠，k∈Z).将参数方程化为普通方程[例2]　将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)．(2)(θ为参数)．[思路点拨]　(1)可采用代入法，由x＝＋1解出代入y表达式．(2)采用三角恒等变换求解．[解]　(1)由x＝＋1≥1，有＝x－1，代入y＝1－2，得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由得，①2＋②2得＋＝1.消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然

4、后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y6取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．2．方程表示的曲线是(　　)A．一条直线　　　　B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分解析：t＞0时　x＝t＋≥2当t＜0，x＝t＋＝－(－t＋)≤－2.即曲线方程为y＝2(

5、x

6、≥2)，表示两条射线．答案：B3．把参数方程(θ为参数)化成普通方程是________．解析

7、：将x＝sinθ－cosθ两边平方得x2＝1－sin2θ，即sin2θ＝1－x2，代入y＝sin2θ，得y＝－x2＋1.又x＝sinθ－cosθ＝sin(θ－)，∴－≤x≤，故普通方程为y＝－x2＋1(－≤x≤)．答案：y＝－x2＋1(－≤x≤)　　　　　　　　　　　　一、选择题1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)A．y＝x－2　　　　　　　　B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.答案：C2．参数方程(θ为参数)表

8、示的曲线是(　　)A．直线B．圆C．线段D．射线6解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．答案：C3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为(　　)A.B.C.D.解析：对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4.(x∈[－1,1])．答案：B4．(北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y

9、＝x＋1上解析：将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.答案：B二、填空题5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．解析：由于cos2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)6．将参数方程(t为参数)化为普通方程为________．解析：y＝t2＋＝(t＋)2－2＝x2－2.又y＝t2＋≥2，故所求普通方程为x2－y

10、＝2(y≥2)．答案：x2－y＝2(y≥2)7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________________．解析：曲线C的直角