相似三角形的存在性

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1、相似三角形的存在性Ø课前预习1.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是_______2.回顾相似三角形的判定①两角分别______的两个三角形相似；②两边__________且夹角_______的两个三角形相似；③_______成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．Ø知识点睛相似三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，

2、结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．Ø例题示范例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，

3、请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①由顶点坐标C(4，)可知对称轴为直线_______，利用与x轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A(__，__)，B(___，___)．②设交点式__________________，再代入坐标__________可求解出解析式_______________．【过程示范】∵顶点坐标为C(4，)，∴抛物线对称轴为直线x=4，又∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，∴由抛物线的对称性可知：A(1，0)，B(7，0)．设抛物线的解析式为，将C(4，)代入可得，，分析不变特征，确定分类标准．定点：_

4、________；动点：__________；特征：∴所求解析式为．第二问：相似三角形的存在性【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：①分析特征：先研究定点、动点，其中_______为定点，点___为______________的动点；进一步研究此△ABC，发现其中___________；构造辅助线：______________，能够计算出∠BAC=______°，∠ACB=________°；再考虑研究△QAB，固定线段为________，并且由于点Q在x轴上方的抛物线上，所以△QAB为_________（填“钝角”或“直

5、角”）三角形．②画图求解：先考虑点Q在抛物线对称轴右侧的情况，此时∠ABQ为钝角，要想使△ABC与△ABQ相似，则需要∠ABQ=_____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ=_____°，AB=BQ=_____来求出Q点坐标．同理，考虑点Q在抛物线对称轴左侧时的情况．③结果验证：考虑点Q还要在抛物线上，将点Q代入抛物线解析式验证．【过程示范】存在点Q使得△QAB与△ABC相似．由抛物线对称性可知，AC=BC，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=．在Rt△ACD中，tan∠DAC=，∴∠BAC=∠ABC=30°，∠ACB=120°

6、．①当△ACB∽△ABQ1时，∠ABQ1=120°且BQ1=AB=6．过点Q1作Q1E⊥x轴，垂足为E，则在Rt△BQ1E中，BQ1=6，∠Q1BE=60°，∴Q1E=BQ1·sin60°=，BE=3，∴E(10，0)，Q1(10，)．当x=10时，y=，∴点Q1在抛物线上．②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2，)．综上，Q1(10，)，Q2(-2，)．Ø精讲精练1.如图，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD=10，OB=8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好

7、与x轴上的点A重合．（1）若抛物线经过A，B两点，则该抛物线的解析式为_________________．（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．

8、（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，