量子力学3(共3个)

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1、薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物

2、理奖金。(1887—1961)不是由基本原理、定律等严密推导而得，是与波动现象类比而建立起来的，它正确与否，只能由实验来验证。薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。一、波函数概率密度沿x方向传播的平面波的波动方程：11-7薛定谔方程其指数形式：一个自由粒子有动能E

3、＝h和动量P=h/其波函数：对三维粒子有：说明：１、是一个复指数函数，本身无物理意义3、代表t时刻，在（x,y,z）处体积元d内粒子出现的几率。2、波函数模的平方代表时刻t在r处粒子出现的几率密度。即：t时刻出现在空间（x,y,z）点的单位体积内的几率。这也正是1926年波恩对波函数的统计解释：对应于自由粒子在空间的一个状态，就有一个由伴随该状态的德布罗意波所确定的几率。4、波函数的标准化条件单值：t时刻在（x,y,z）处出现的几率唯一；有限：t时刻在（x,y,z）处出现的几率有限<1连续：t时刻在（x,y,z）处出现的几率连续，不能在任何点发生突变。5、波函数归一化条件即：整

4、个空间内粒子出现的几率总是1。凡是满足该条件的波函数都称为归一化函数。单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样电子束双缝电子束干涉实验I表示单开缝1电子在观察屏上的概率分布表示单开缝2电子在观察屏上的概率分布如果两缝同时打开，按照经典概率理论代表观察屏上粒子的概率分布如果两缝同时打开，按照量子力学理论1、薛定谔方程建立应满足的条件（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程（2）要建立的方程是线性的，即如果1、2是方程的解，则1和2的线

5、性叠加a1+b2也应是方程的解。（量子力学态的叠加原理）（3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、能量等）二、薛定谔方程（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。沿x方向运动的动能为E和动量为的自由粒子的波函数2、单能粒子（沿x方向匀速直线运动）若现在利用E=P2/2m消去E、P将得到一个含的非线性方程，不满足条件（2），所以在微分一维自由运动粒子的薛定谔方程3、单能势场中运动的粒子（沿x方向匀速直线运动）此时粒子具有的能量：同样导出：势场中一维运动粒子的薛定谔方程对三维运动的粒子引入拉普拉斯算符：则有再引入哈密顿算符：则有一般的

6、薛定谔方程4、定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）若作用在粒子上的势场不显含时间t时，在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。两边除以可得：由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为E则有：定态薛定谔方程可见E具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。把常数A归到空间部分，薛定谔方程的特解为：定态波函数对应的几率密度与时间无关。即：处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。量子力学的处理方法（1）已知粒子的m，势能函

7、数V，即可给出薛定谔方程（2）由给定的初始、边值条件，求出波函数（3）由波函数给出不同地点、任意时刻粒子的几率密度

8、

9、2下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程三、一维无限深方势阱1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程：在阱内粒子势能为零