2018版高中数学 第一章 计数原理 1.5.1 二项式定理学案 苏教版选修2-3

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1、1．5.1　二项式定理学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点　二项式定理思考1　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．　　　思考2　上述两个等式的右侧有何特点？　　　思考3　能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？　　梳理　二项式定理及其概念(1)二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)叫做

2、二项式定理，________________叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有________项．(2)二项展开式的通项____________叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝____________.(3)二项式系数________________________________________________________________________叫做第r＋1项的二项式系数．类型一　二项式定理的正用、逆用引申探究将本例(1)改为求(2x－)5的展开式．例1　(1)求(3

3、＋)4的展开式．　　　　(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.　　　　反思与感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1　化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋1

4、0(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.　　类型二　二项展开式的通项例2　已知二项式(3－)10.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．　　　反思与感悟　(1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式

5、系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.跟踪训练2　已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．　　　　　例3　已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．　　　　　　反思与感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指

6、数为0(即0次项)．②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3　(1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋)n的二项展开式的常数项是________．1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是________．2．二项式(

7、x＋)12的展开式中的常数项是第________项．3．已知5的展开式中含的项的系数为30，则a＝________.4．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________.5．求(＋)4的展开式．　　　　1．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：①求第r项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同

8、一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．2．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．答案精析问题导学知识点思考1　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋