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1、3.4架空缆绳下垂【时间：2010年7月180]【第3次作业】【组员：兰敏隗杰(习题解答)黄炎(编程作图)11.如果符合分布⑷和水平张力H是已知的，形状y(x)能够唯一确定吗？为了得到唯一性，需要加什么条件？解：不能，一个垂直的转化形状可能造成同样的重力分布，可以通过具体化y截距來固定形状.2.证明：证明：由题意的:图3.4.1力的平衡缆绳载荷和形状的基本方程为:图3.4.2积分区域由图3.4.2知:^(i)-y(o)=—w(u)du]dx,丿⑴-y(o)=~(l-u)w(u)du]dx,3•如果w是严格正的，证明y(x)是下
2、凸的.证明：缆绳载荷和形状的基本方程为：dy_1
3、dxH」fw(u)du,Iod2y_dx1:—vv(x)Hd'y1因为w(Q是严格正的，所以-4=—w(x)>0,dx"H则y是下凸的.4•如果w是偶函数，即w{-x)=w(x)，证明任何对应的形状函数y都是关于y轴对称的.证明：缆绳载荷和形状的基本方程为:X红丄「⑷皿，dxHJ()丽凯w(u)du]dx,yM=*J[£'w(u)du]dx+C‘心)=h![Iow(u)du]d(-x)+C,y(-x)=-汕Jw(u)du]d(-x)+C,又因为w(x)为偶函数则£Vw(u)du
4、为奇函数，r()『()rx则w(u)du=w(u)du,-w(u)du=w(u)du,J-xJOJ-xJO-x所以y(x)=y(-x),y是关于y轴对称的・5.如果形状函数y是关于y轴对称的，证明对任意分布w都是偶函数.证明：由型=丄IH£w(u)du,y(x)=-^-j
5、£w(u)du]必+C知,因为形状函数y关于y轴对称的，则y(x)=y(-x),且y(-兀)二MTw(u)du]d(-x)+C,心)=w(u)du]d(x)+C,w(u)du]dx+C=—1-[£w(u)du]dx+C,所以Jo为奇函数，w(x)为偶函数6.
6、证明y(x)=x4和y(x)=3x4+7都是由分布函数w(x)=3x2/2产生的形状函数.解：依题意的：综上得：y(x)=才1和y(x)=3/+7都是由分布函数w(x)=3x2/2产生的形状函数.7.如果y是由分布函数w产生的形状函数，证明对任意的数a,b,ay+b也是由分布函数w产生的形状函数.必(兀)即满足鱼=—[w(u)du,dxH
7、则必=©(x)+b也是rti分布函数w产生的形状函数.&如果y(0)=0,y(l)=l,我们称形状y是标准化的，证明由给定的分布函数w产生的唯一的标准化的形状是证明：因为生二dx]「X=一w
8、(u)du,贝ijHJoy=hLdxiW(u)du1y(x)-y(0)=土J()必J()w(u)du,y(兀)二土J；[fw(“)血床，XX//oXu图343积分区域积分变换：⑴=£■【：[[w(%)如必，1「X=——(x-u)w(u)duH山又1flH=1vv(m)(1一u)du,贝ijy(i)-y(o)Jofw(u)(x-u)du)心)=•J。w(u)(l-u)du9.如果w是产生形状函数y的分布函数，证明对任意a>0,qw也产生y.dv1rx证明：—=—[w(u)du得：dx//J()若任意a>0y=-^-j[£w(u)
9、du]dx+C(CeR)>!=HJ[[w(u)du]必+C](C]gR)'y、=hJ[J()w(u)血皿+G，令尸刃'得話占"H屮,那么如果w是产生形状函数y的分布函数，证明对任意6/>0,QW也产生y.10.如果w是总负荷为1的分布函数，即Jw（u）du=1,y是对应的形状，证明:证明：⑷）皿dxHJ°w(u)du,y"(x)=—vv(x),H/(%)=—fAHJoz1fly(1)=—JO/(-I)=-^-£w(u)du--j]w(u)du,)/(1)-)/(一1)=寺J()w(u)du+[w{u)du二扌]w(u)du,y
10、⑴一y（-o=£w（u）du=扌‘11.对给定形状函数y,证明存在唯一的总负荷为1的分布函数⑷与之对应，即:W（X）■/（!）-/（-!）■证明:有10得：1—w(u)du,dxHJ。w(x)=Hy"=12•求总负荷为1的分布函数使得产生形状y(x)=l-cos(^x/2).解：有11得：对给定形状函数y,证明存在唯一的总负荷为1的分布函数vv,Mw(x)=由题意得：y(x)=1-cos(ttx/2),yx)=—sin(7rx/2),则y(i)=
11、>/(-i)=-p2_又y"=—cos—x,贝U42717122———COS—
12、—X・4213.如果分布函数w是常数，证明形状函数是抛物线.证明：由题意设：w
