数学与应用数学毕业论文-正交变换与群问题探

《数学与应用数学毕业论文-正交变换与群问题探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、正交变换与群问题探［关键词］(莆田学院数学系02级1班林月娥、连涵生)［摘要］主要探讨：(i)止72边形保形运动的存在情况及分类；(ii)保形运动构成一个群；(iii)运用到南开大学2004年研究生入学考试试题第5题。正72边形；正交变换；保形运动；群说明：以下我们用①A?表示平面运动的标准度量；②久表示图形绕屮心旋转,0

2、求出R2中所有保持下列正方形(其中A=(1,1),B=(-1,1),C=(-1,-1),D=(1,-1))整体不变(即正方形四条边上的点经过变换示仍落在这四条边上)的正交变换⑴。(如图(1))上述试题所涉及的正交变换的更一般情况：定义1:平面上对称图形经过某些运动示仍能冋到n身图形的运动，称为保形运动。(即保持原来图形的形状不变又保持原来图形所在的位置不变。)0(图(D)我们首先讨论一•般的正〃边形的保形运动的存在情况及分类。因为这些保形运动对于正交变换的乘法运算构成一个群，所以由这些结果可以解答并证明山。由此我们还可得到⑴的进一步结论。2.保形运动的存在情况及分类

3、定义2：正交变换就是保持点之间的距离不变的变换⑵。几何的形式，Mxhasles定理⑶平而的运动有且只有下列三种：(a)沿任一给定向量的平移；(b)以任意点为中心的旋转;(c)绕某-•直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移(包括作纯翻摺的情况）。IIIM.chasles定理，対于一个给定的正72边形，适当选取坐标系，不妨选其中心为坐标原点0,贝IJ它在平面上的保形运动的存在情况可通过以下分析得到：（1）由M.chasles定理的（a）,我们可以通过简单的正〃边形沿某一个定向量平移知平移后图形不可能回到自（身上去。

4、例如：图（2）所给定的向I量，沿该方向平移一小段距

5、'离后不会回到原位置，故由[定义1知不是保形运动。（2）由（b）有两种情况，k①若选任意非正72边形原点的点为中心旋转点。由正交变换的保距性知正〃边形旋转任何你度/后也不会回到自身上去。即也不是保形运动。②若正〃边形以原点为中心旋转点。（i）由正交变换的保距性知绕原点旋转2k7i/n,0.x（图〔2))（P=0,1，2,・・・兀一1）都可以使它回到自身上去。（ii）若旋转任意角度&,0<&<2龙且&工2k7iIn,0（图（3））k=（0,1,2,*•-n—1）,根据正交变换的保距性可知都不会使它回到a身上去。例如：当&=（1/2）*2眩/〃（其屮Ik^ln为任意相邻

6、的顶点与原点o所成的角Zo,如图（3）,也不是保形运动。（3）由（c）对于一个正兀边形，这种直线冇两种取法：①以不过原点的肓线为轴；②以过原点的直线为轴。故有两种情况（）以一条不过原点的直线为轴作翻转（即绕这条査线翻转180度,再取定这条直线的一个方向，然后沿这个方向或沿这个方向的逆方向平移)，易见不会使它回到自身上去，即不是保形运动。例如，如图(4)所取的直线,以它为轴所作的翻转。再沿该直线上的一个向量作平移也不会冋到自身上去。所以不是保形运动。(ii)对于②任取一条过原点的肓线，则这条肓线又有两种取法：I：这条直线就是对称轴；II：这条直线是除对称轴外的任意直线

7、。由于，正〃边形是轴对称图形，所以它绕它的对称轴所作的翻转71度的运动一定是保形运动。而」E〃边形有〃条对称轴。命题：正边形有71条对称轴。(图(4))证明：(i)当n=3时，即正三角形有3条対称轴，也就是过任一顶点与它対边中点的连线。(五)当〃=4时，为正四边形冇4条对称轴，即这它的两条对角线和两条对边中点的连线。(iii)现在讨论的情况：(a)当〃为偶数吋，不妨设〃=2k(k>2)的整数。也就是说它有£对顶点和£对对边。所以它有£条对角线和£条对称轴。乂由于图形的対称性，2£条都使图形分成完全一样的两半，即这2k条肓线都是对称轴。所以正〃边形有k+k=2n条对称

8、轴。(3当〃为奇数时，由于图形的对称性，过任一顶点与它对应的只能是一条边。而这个顶点与它对应边中点的连线把正〃边形分成完全相同的两半。所以这是一条对称轴。故它有〃条对称轴，因为它有〃个顶点。综上所述，对于任意正n(n>3)边形都有〃条对称轴。命题成立。反之，若这条直线不是对称轴，那么正〃边形绕它所作的翻转兀度的运动一定不是保形运动。综上分析知，正〃边形的保形运动的存在情况是：(1)正〃边形绕原点旋转2k7i/n,(k=0,1,2,•••/?-!)角度的运动；(2)正72边形绕它的对称轴翻转"度的运动。我们可以把正〃边形的保形运动的变换分为两类：第一类：将正〃边形