正交变换与群问题探

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1、正交变换与群问题探(莆田学院数学系02级1班林月娥、连涵生)正72边形；正交变换；保形运动；群［摘要］主要探讨：(i)正〃边形保形运动的存在情况及分类；(ii)保形运动构成一个群；(iii)运用到南开大学2004年研究生入学考试试题第5题。J、yBNAPMC0D(1X说明：以下我们用①A?表示平面运动的标准度暈；②Qr表示图形绕中心旋转,Q

2、所有保持下列正方形(其+a=(1,1),B=(-1,1),C=(-1,-1),D=(1,-D)整体不变(即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上)的正交变换⑴。(如图(1))上述试题所涉及的止交变换的更一般情况：定义1:平面上对称图形经过某些运动后仍能回到自身图形的运动，称为保形运动。(即保持原来图形的形状不变又保持原來图形所在的位置不变。)我们旨先讨论一般的正〃边形的保形运动的存在情况及分类。因为这些保形运动对于正交变换的乘法运算构成一个群，所以由这些结果可以解答并证明⑴。由此我们还可得到⑴的进一步结论。2.保形运动的存在情况及分类定义2：正交变换就是保持点之间的距离不变的变换⑵。几何

3、的形式，M.chasles定理⑶平面的运动冇只冇下列三种：⑻沿任一给定向量的平移；(b)以任意点为中心的旋转;(c)绕某一直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移(包括作纯翻摺的情况）。由M.chasles定理，对于一个给定的正〃边形，适当选取坐标系，不妨选瓦中心为朋标原点0,则它在平面上的保形运动的存在情况可通过以下分析得到：（1）l+lM.chasles定理的（a）,我们可以通过简单的止〃边形沿某一个定向屋平移知平移后图形不可能回到自身上去。例如：图（2）所给定的向量，沿该方向平移一小段距离后不会回到原位置，故由定义1知不是保形运动。（2）由⑹有两种情况,①若选任意非止〃边形原点的点为中

4、心旋转点。山止交变换的保距性知正〃边形旋转任何角度后也不会回到自身上去。即也不是保形运动。②若止斤边形以原点为中心旋转点。（i）山止交变换的保距性知绕原点旋转2k7i/n,ty70(图(2))>x0（图⑶）（k=0,1,2,・・・〃一1）都可以使它回到自身上去0（ii）若旋转任意角度&，0<0<27r負0兀k=（0,1,2,•••72—1）,根据止交变换的保距性可知都不会使它冋到自身上去。例如：当0-（1/2）*2比兀/〃（其屮2£兀/〃为任意相邻的顶点与原点O所成的角Zo,如图（3）,也不是保形运动。（3）由（c）对于一个正〃边形，这种直线有两种取法：①以不过原点的直线为轴；②以过原点的直线

5、为轴。故有两种情况：（i）以一条不过原点的直线为轴作翻转（即绕这条直线翻转180®,再取定这条直线的一•个方向，然后沿这个方向或沿这个方向的逆方向平移)，易见不会使它回到自身上去，即不是保形运动。例如，如图(4)所取的百线，以它为轴所作的翻转。再沿该直线上的一个向量作平移也不会冋到自身上去o所以不是保形运动。(ii)对于②任取一条过原点的直线，则这条直线又有两种取法：I：这条直线就是对称轴；II：这条直线是除对称轴外的任意直线。rti于，止〃边形是轴对称图形，所以它绕它的对称轴所作的翻转兀度的运动一定是保形运动。而正兀边形有n条对称轴。命题：正〃边形冇兀条对称轴。证明：(i)当n=3时，即正三

6、角形有3条对称轴，也就是过任一顶点与它对边屮点的连线。(H)当〃=4时，为止四边形有4条对称轴，即这它的两条对角线和两条对边中点的连线。(iii)现在讨论斤的情况：(a)当〃为偶数时，不妨设72=2k(k>2)的整数。也就是说它有比对顶点和£对对边。所以它冇£条対角线和£条对称轴。乂由于图形的对称性，2k条都使图形分成完全一样的两半，即这2£条直线都是对称轴。所以止兀边形有k+k=2n条对称轴。(b)当72为奇数时，由于图形的对称性，过任一顶点与它对应的只能是一条边。而这个顶点与它对应边中点的连线把正斤边形分成完全相同的两半。所以这是一条对称轴。故它有〃条对称轴，因为它有〃个顶点。综上所述，対

7、于任意正n{n>3)边形都有〃条対称轴。命题成立。反之，若这条直线不是对称轴，那么止〃边形绕它所作的翻转兀度的运动一定不是保形运动。综上分析知，正〃边形的保形运动的存在情况是：(1)正72边形绕原点旋转lk7i/n,(k=0,1,2,・・・72—1)角度的运动；(1)正〃边形绕它的对称轴翻转龙度的运动。我们可以把正n边形的保形运动的变换分为两类：第一类：将正〃边形绕中心沿逆时针方向旋转2k兀[it