江苏省2019高考数学二轮复习 专题六 数列 第1讲 等差数列与等比数列学案

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1、第1讲　等差数列与等比数列[考情考向分析]　1.数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查.2.等差数列、等比数列主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式以及性质的灵活运用，解答题会以等差数列、等比数列推理证明为主，要求都是C级．热点一　等差数列、等比数列的运算例1　(2018·江苏南京师大附中模拟)已知等差数列和等比数列均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1,2a2,4a4成等比数列，4b2,2b3，b4成等差数列．(1)求和的通项公式；(2)设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i

2、bi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值．解　(1)设等差数列an的公差为d(d≠0)，等比数列bn的公比为q(q≠1)，由题意得∴解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)得，an＝n，bn＝2n－1(n∈N*)，由ambj，amanbi，anbk成等差数列，得2amanbi＝ambj＋anbk，即2mn·2i－1＝m·2j－1＋n·2k－1.由于i

3、>0，<1，即m>2，则有m＋n>6；所以m＋n的最小值为6，当且仅当j－i＝1，k－i＝2且或时取得．思维升华　在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1　(1)若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．则数列S1，S2，S4的公比为________．答案　4解析　设数列{an}的公差为d，由题意，得S＝S1·S4，∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．∵d≠0，∴d＝2a1.故公比q＝＝4.(2)在公差不为零的

4、等差数列{an}中，a5＝7，且三个数a1，a4，a3依次成等比数列．抽出数列{an}的第1,2,22，…，2n项重新构成新数列{bn}，数列{bn}的前n项和Sn＝________.答案　2n＋2－13n－4(n∈N*)解析　设数列{an}的公差为d，由a1，a4，a3构造成的等比数列的公比为q.d≠0，q＝＝＝－.∴a4＝－a1，又a4＝a1＋3d，∴a1＋3d＝－a1，∴d＝－a1.∵a5＝7，∴a1＋4d＝7，∴a1＝－9，d＝4.∴an＝4n－13(n∈N*)．由题意，数列{an}中的第2n项即为数列{bn}中的第n＋1项．∴bn＝a2n－1＝4×2n－1

5、－13.∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×(1＋2＋22＋…＋2n－1)－13n＝4×(2n－1)－13n.∴Sn＝2n＋2－13n－4(n∈N*)．热点二　等差数列、等比数列的证明例2　(2018·宿迁一模)已知数列，其前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.(1)若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an，求证：数列是等比数列；(2)若a2＝3，且λ＋μ＝，求证：数列是等差数列．证明　(1)若λ＝0，μ＝4，则Sn＝4an－1(n≥2)，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝4(an－an－1)，即an＋1－2an

6、＝2(an－2an－1)，所以bn＝2bn－1,又由a1＝2，a1＋a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2－2a1＝2≠0，即b1≠0，所以＝2，故数列是等比数列．(2)若a2＝3，由a1＋a2＝2λa2＋μa1，得5＝6λ＋2μ，又λ＋μ＝，解得λ＝，μ＝1.由a1＝2，a2＝3,λ＝，μ＝1，代入S3＝3λa3＋μa2得，a3＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，由Sn＝an＋an－1，得Sn＋1＝an＋1＋an，两式相减得an＋1＝an＋1－an＋an－an－1，即(n－1)an＋1－(n－2)an－2an－1＝0，所以nan＋2－(n－1)an＋1－2an＝

7、0，相减得nan＋2－2(n－1)an＋1＋(n－4)an＋2an－1＝0，所以n(an＋2－2an＋1＋an)＋2(an＋1－2an＋an－1)＝0，所以(an＋2－2an＋1＋an)＝－(an＋1－2an＋an－1)＝(an－2an－1＋an－2)＝…＝(a3－2a2＋a1)，因为a1－2a2＋a3＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝0，即数列是等差数列．思维升华　数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数．②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥