马铖毕业论文

《马铖毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、线性方程组的几种新解法及应用马钺（陕理工数学系数学与应用数学专业071班级，陕西汉中723001）指导教师：周亚兰［摘要］本文主要是在线性方程组的两种解法的基础上来探讨线性方程组的另三种解法-一-求逆矩阵法、行列初等变换法、矩阵的三角分解法.先给出这几种方法的理论基础，再分别给出通过例题之处它们相互之间的适用性.这些方法中有的计算量不是很大，颇为实用.1・［关键词］线性方程组；解法；基础解系；矩阵的秩；逆矩阵.1引言我们在生活中常遇到许多与线性方程组有关的数学问题，如古代著名的“鸡兔同笼”问题就是一个含有两个方程两个未知量的线性方程组.同时，

2、线性方程组也是高等代数的重要研究対象.从高等教材中我们已经知道了解线性方程组的三种方法:①克莱姆法则②消元法③初等变换法.现在我们在原有理论的基础上再来研究线性方程组的另两种方法，称为求逆矩阵法、行列初等变换法、矩阵的三角分解法.2预备知识2.1线性方程组的定义一般线性方程组是指形式为坷“1+坷2兀2+•••+%£=%內+如兀2+…+。2”£=伏心、、的方程组，其屮西，吃,•••£代表7?个未知量，方程的个数为s个，呦Q=l,2,・・・sJ=l,2,・・・,〃）称为方程组的系数，bj（j=,2,…，s）称为常数项•方程组屮未知量的个数n与方

3、程的个数s不一定相等.的第一个指标i表示它在第，个方程，第二个指标j表示它是丹的系数.3线性方程组的求解方法3.1克拉默法则设有线性方程组（n个未知数n个方程）坷內+力吃+…+坷届二勺°21兀1+a22X2+…+^2nXn=E陽內+陽2兀2+・・・+色届=仇仏…/、其中•••••••••，兀二■■■,b=■■■厲…叽3〃丿如果线性方程组的系数行列式不为零，即det（A）HO,则该方程组有唯一解•有克拉默法则知,其解为det(&)det(A)（心1,2，…加其屮4为用上述方程组的右端向量b代替A中第i列向量所得的矩阵.u>r（A）d为未知数的个

4、数3.2高斯消元法定理3.2⑴r（A）=AZ有唯—解1）线性方程组AfnxnXnxi=Bmxi有解o厂冶无穷解2）线性方程组Aw,x/,X„xl=B叔无解o厂（人）工厂（A,B）.or（A）

5、=LU为单位下三角矩阵，1/为上三角矩阵.,u=W11%U2n对矩阵A进行厶U分解是有条件的，它要求在对A进行高斯消元的时候，所有的主元素均不为零•那么，人满足什么条件才能保证这一要求呢？见下面的定理.定理3.3⑶若A为斤阶矩阵，且所有顺序主子式都不等于零，则存在唯一的单位下三角矩阵厶和上三角矩阵｛/使A=LU・如果线性方程组Ax=b的系数矩阵己经进行三角分解，A=LU,则解方程组Ax=b等价于求解两个三角形方程组Ly=hMx=y,即由<100•••0、Ly=10•••0b2•■•■■■■■■■■■•••1丿J儿丿©丿可求出勺伙=1)-Ibk

6、-工j(k=2,…“).冃再rh■"丿■E丿解得(儿一E知®)/%伙=斤t,・・・,i)j=k+ln用三角分解法求解线性方程组的乘法运算量是I数量级.由于在求出知，％和牙后，吗和勺就无须保留了，故上机计算时，可把厶,U和y存在Alb所占的单元，回代时x取代y,整个计算过程中不需要增加新的存储单元•而且系数矩阵的三角分解与右端常数项无关，故在计算系数矩阵相同而右端项不同的一系列方程组时，用三角分解法更为简便.3.4求逆矩阵法定理3.4⑷设矩阵A可逆，则矩阵方程AX=B有解，并且把矩阵合成分块矩阵

7、(A,B).对这个矩阵施行初等行变换，当A化为单位矩阵I时，B就化成了X.证明设有矩阵方程AX=B,其中矩阵A可逆.那么应有X二/TP又显然有I=A~lA于是对分块矩阵(A,B),我们有A_,(A,B)=(Z,X)而A可逆，故A"也可逆，因此A"也可以表示为一系列初等矩阵P,P“・Ph的积：二片，马，…代.因此，我们得出片虫,…代(A,B)=(/,X)以上等式说明：若対分块矩阵(A,B)施行初等行变换，当左边的一块A化为单位矩阵【时，右边的一块B就化为TX=A'lB,即(A,B)t(/,A*)(证毕)3.4.1现在我们来研究齐次线性方程组坷

8、內+纠2兀2+・・・+气兀“=°(3.1)anX}+a22X2HFa2nXn=0、讣+%兀2+•••+%£=°其中A=(®・J是(3.1)的系数矩阵.(/7nm由