3、向量ul,u2,・・・,uk和右奇异向量1,2,…,k后,即可通过截尾的奇异值分解公式A丄Ski=loiuiTi重构出原图像.一个容易理解的事实是,若k值偏小,即压缩比P偏大,则重构的图像的质量有可能不令人满意.反之,过大的k值又会导致压缩比过小,降低图像压缩和传送的效率.所以,需要针对各种不同种类的图像,选择合适的压缩比,以兼顾图像传送效率和重构质量•矩阵理论学习指导第三章矩阵的分解一、基本概念1.三角矩阵的定义(1)如果aii(i=l,2,•••,n)均为正实数,aijeC(aijGR)(i〈j,i二1,2,…,n-l;j二i+1,i+2,…,n),则上三角矩阵R=a11
4、a12・・・aInOa22・・・a2n00・・・ann称为正线上三角复(实)矩阵.特别当aii=l(i=l,2,…,n)时,R称为单位上三角复(实)矩阵.⑵如果aii(i二1,2,…,n)均为正实数,aij^C(aijcR)(i>j,j二1,2,…,n-1;i二j+1,j+2,…,n),则下三角矩阵L=a110-0a21a22—0anlan2・・・ann称为正线下三角复(实)矩阵.特别当aii=l(i=l,2,…,n)时,L称为单位下三角复(实)矩阵.1.单纯矩阵若矩阵A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等,则称A为单纯矩阵.2.Hermite矩阵设AWCnXn,若AII
5、二A,则称A是Hermite矩阵;若AH二-A,则称A是反Hermite矩阵.当A为实对称矩阵时,AII二AT二A,所以实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形.■1.正规矩阵若n阶复矩阵A满足AAH二AHA,则称A为正规矩阵.当A为n阶实矩阵且满足AAT二ATA时,则称A为实正规矩阵.显然,对角矩阵、酉矩阵、Hermite矩阵、反Hermite矩阵都是正规矩阵;正交矩阵、实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.但正规矩阵并不一定是Hermite矩阵.5.设AGCnXn是Hermite矩阵,对任意非零向量XWCn,均有f(X)=XIIAX>0(20),则称二次型f(X)是正定
6、(半正定)二次型,此时称系数矩阵A正定(半正定).6.广义正定矩阵设AWRnXn,若对于任何非零向量XeRn,均有XIIAX>0,则称矩阵A为广义正定矩阵.7.奇异值设AecnXnr,AHA的特征值为X12X22…2XXr+i二…二入n=0,则称oi二入i(i二1,2,…,r)为矩阵A的正奇异值.8•酉等价设A,BeCnXn,使得A=UBC,二、主要结论1・理1设ACCnXn其中U1是酉矩阵,解为A二LU2,若矩阵AWRnXnmXn,如果存在酉矩阵UECmXm^UVEC则称A与B酉等价.R是正线上三角复矩阵;或者,其中L是正线下三角复矩阵,Un,则可立即得到下面推论.则A可唯
7、一地分解为A二U1R,A可唯一地分2是酉矩阵.n阶非奇异方阵的三角分解的存在性定n,则A可唯一地分解为A二Q1R,推论1设AGRnXnn,其中Q1是止交矩阵,R是止线上三角实矩阵;或者,A可唯一地分解为A二LQ2,其屮L是正线上三角实矩阵,Q2是正交矩阵.推论2设A是实对称止定矩阵,则存在唯一止线上三角实矩阵R,使得A二RTR.推论3设A是正定Hermite矩阵,则存在唯一正线上三角复矩阵R,使得A二RIIR.定理2设AWCnXnn,用L表示下三角复矩阵,L*为单位下三角复矩阵,R为上三角复矩阵,R*为