矩阵理论学习指导

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1、矩阵理论学习指导三矩阵的分解矩阵分解就是通过线性变换，将某个给立矩阵分解为两个或三个结构比较简单或性质比较熟悉的矩阵的乘积(个别情况下分解为两个矩阵的和)•这一方法在线性方程组求解、模型参数估计等许多典型问题中经常使用，所以矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学以及工程技术问题的发展起了重耍作用.譬如，矩阵的奇异值分解在图像压缩中有着很重耍的应用•现假定一幅图像有nXn个像素，如果将这n2个数据一起传送，往往显得数据量太大.因此，能否利用一种技术，只传送比较少的数据，在接收端还能够利用这些数据重构原图像呢？假设n阶方阵A表示要传送的原nXn个像素，由矩阵A的奇异值分解可得A=USV

2、T,苴中，奇异值按照由大到小的顺序排列•如果从中选择k个大奇异值以及与这些奇异值对应的左右奇异向量逼近原图像，就可以使用k(2n+1)个数值代替原来的nXn个图像数据.这k(2r)+l)个选出的新数据是矩阵A的前k个奇异值，nXn左奇异向量矩阵U的前k列元索和nXn右奇异向量矩阵V的前k列元素.比率P二n2k(2n+1)称为图像的压缩比.显然，选出的大奇异值的个数k应该满足k(2n+l)

3、向量ul,u2,・・・,uk和右奇异向量1,2,…，k后，即可通过截尾的奇异值分解公式A丄Ski=loiuiTi重构出原图像.一个容易理解的事实是，若k值偏小，即压缩比P偏大，则重构的图像的质量有可能不令人满意.反之，过大的k值又会导致压缩比过小，降低图像压缩和传送的效率.所以，需要针对各种不同种类的图像，选择合适的压缩比，以兼顾图像传送效率和重构质量•矩阵理论学习指导第三章矩阵的分解一、基本概念1.三角矩阵的定义(1)如果aii(i=l,2,•••,n)均为正实数，aijeC(aijGR)(i〈j,i二1,2,…，n-l;j二i+1,i+2,…，n),则上三角矩阵R=a11

4、a12・・・aInOa22・・・a2n00・・・ann称为正线上三角复(实)矩阵.特别当aii=l(i=l,2,…，n)时,R称为单位上三角复(实)矩阵.⑵如果aii(i二1,2,…,n)均为正实数，aij^C(aijcR)(i>j,j二1,2,…,n-1;i二j+1,j+2,…,n)，则下三角矩阵L=a110-0a21a22—0anlan2・・・ann称为正线下三角复(实)矩阵.特别当aii=l(i=l,2,…,n)时,L称为单位下三角复(实)矩阵.1.单纯矩阵若矩阵A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称A为单纯矩阵.2.Hermite矩阵设AWCnXn,若AII

5、二A,则称A是Hermite矩阵；若AH二-A,则称A是反Hermite矩阵.当A为实对称矩阵时，AII二AT二A,所以实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形.■1.正规矩阵若n阶复矩阵A满足AAH二AHA,则称A为正规矩阵.当A为n阶实矩阵且满足AAT二ATA时，则称A为实正规矩阵.显然，对角矩阵、酉矩阵、Hermite矩阵、反Hermite矩阵都是正规矩阵；正交矩阵、实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.但正规矩阵并不一定是Hermite矩阵.5.设AGCnXn是Hermite矩阵，对任意非零向量XWCn,均有f(X)=XIIAX>0(20),则称二次型f(X)是正定

6、(半正定)二次型，此时称系数矩阵A正定(半正定).6.广义正定矩阵设AWRnXn,若对于任何非零向量XeRn,均有XIIAX>0,则称矩阵A为广义正定矩阵.7.奇异值设AecnXnr,AHA的特征值为X12X22…2XXr+i二…二入n=0,则称oi二入i(i二1,2,…,r)为矩阵A的正奇异值.8•酉等价设A,BeCnXn,使得A=UBC,二、主要结论1・理1设ACCnXn其中U1是酉矩阵，解为A二LU2,若矩阵AWRnXnmXn,如果存在酉矩阵UECmXm^UVEC则称A与B酉等价.R是正线上三角复矩阵；或者，其中L是正线下三角复矩阵,Un,则可立即得到下面推论.则A可唯

7、一地分解为A二U1R,A可唯一地分2是酉矩阵.n阶非奇异方阵的三角分解的存在性定n,则A可唯一地分解为A二Q1R,推论1设AGRnXnn,其中Q1是止交矩阵，R是止线上三角实矩阵；或者，A可唯一地分解为A二LQ2,其屮L是正线上三角实矩阵，Q2是正交矩阵.推论2设A是实对称止定矩阵，则存在唯一止线上三角实矩阵R,使得A二RTR.推论3设A是正定Hermite矩阵,则存在唯一正线上三角复矩阵R,使得A二RIIR.定理2设AWCnXnn,用L表示下三角复矩阵，L*为单位下三角复矩阵，R为上三角复矩阵，R*为