矩阵学习指导.doc

《矩阵学习指导.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、19线性代数辅导矩阵【基本要求】1.理解矩阵的概念.2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及运算规律,以及方阵的幂、行列式，对角矩阵的定义及其性质.3.理解逆矩阵的概念.4.掌握矩阵的初等变换。知道初等变换与初等矩阵、可逆矩阵与初等矩阵的关系。5.熟练掌握求逆矩阵的两种方法:伴随矩阵法和初等变换法.6、理解矩阵的秩的概念和基本性质，特别是“矩阵的初等变换不改变矩阵的秩”这一性质。7、熟练掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法【主要内容】一、重要定理：定理1设A，B是n阶矩阵，则。定理2如果A是可逆矩阵，则A的

2、逆矩阵唯一。定理3n阶矩阵A可逆，其中定理4初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵作相应的初等行（列）变换。定理5初等矩阵可逆，且其逆为同类型的初等矩阵，即。二、重要公式、法则：1．加法与数乘（1）A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A;(4)A+(-A)=O.;(5)k(lA)=(kl)A;(6)(k+l)A=kA+lA;(7)k(A+B)=kA+kB;(8)1A=A,0A=O.2.乘法（1）(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC(3)(kA)

3、(lB)=kl(AB)(4)A0=0A=O3.转置(1)（AT）T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;19线性代数辅导4.可逆(1);(2);(3);(4).5.伴随矩阵（1）;（2）;(3);(4);(5).6.n阶矩阵的行列式（其中分别是n阶、n阶、m阶方阵）（1）;(2);(3);(4);(5);(6);(7)(其中分别是n阶、m阶方阵)。三、二阶方阵：（1）;（2）即主对角线上的元素调换位置，副对角线上的元素变化符号。四、分块阵：；;；.五、可逆的

4、判断法：1.n阶矩阵A可逆A的行（列）向量组线性无关仅有零解，19线性代数辅导2.上三角阵的逆阵仍为上三角阵，且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交阵：（）1.A正交，;2.A正交正交;3.A正交正交;4.A正交正交;5.A正交，;6.A、B正交AB正交。口诀：1、题设条件与代数余子式或有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及。2、若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA

5、+bE。【典型例题】例1设为三阶方阵，为的伴随矩阵，,求行列式的值。解:由,得例2若方阵满足矩阵方程,其中为单位阵，证明：可逆并求其逆矩阵。证明:将方程改写为则可逆，且例3设为可逆阵，且的元素全为整数，试证的元素全为整数的充要条件为=1或。证明:必要性：因为的元素全为整数，所以也是整数，又的元素为整数，则也为整数，而,所以=1或。充分性：因为=1或，且,又因为的元素全为整数，则的元素也全为整数，所以的元素全为整数。例4设方阵满足()，则可逆，．证明:可逆，且例5设为阶方阵，其中可逆且，证明：都可逆。19线性代数

6、辅导证明:由得即两边取行列式又可逆，，从而；都可逆。例6设1.试证：当时，有2.求解:1.证采用数学归纳法:当时，经计算设（）时结论成立，即：两边乘以得：将代入，得2.例7设(2E－C－1B)AT=C－1,其中E是4阶单位矩阵,AT是4阶矩阵A的转置矩阵，求A。解:由题设得C(2E－C－1B)AT=E，即(2C－B)AT=E。由于，

7、2C－B

8、=1≠0，故2C－B可逆，于是A=[(2C－B)－1]T=[(2C－B)T]－1【自我练习及解答】一、填空题1．已知是三阶方阵，B是四阶方阵，且则19线性代数辅导2．设是

9、阶方阵，，则＝，＝；3．4．设，是A的伴随矩阵，则（）－1=；5．设A为n阶可逆阵，是A的伴随矩阵，则A=，若A是可逆的，则()－1=；6．已知矩阵，则7．8.二、.选择题（1）设，，，，则必有（）(A).(B).(C).(D).（2）设A是任一阶方阵，是其伴随矩阵，为常数，且，则必有(A)(B)(C)(D)（3）A为四阶方阵，则

10、3A

11、为().（A）43

12、A

13、；（B）3

14、A

15、（C）4

16、A

17、（D）34

18、A

19、19线性代数辅导（4）若

20、A

21、=2，且A为5阶方阵，则

22、－2A

23、=（）（A）4（B）－4（C）－64（D）

24、64；(5)设A和B都是n阶方阵，且

25、A+AB

26、=0，则有（）（A）

27、A

28、=0（B）

29、I+B

30、=0（C）

31、A=0

32、或

33、I+B

34、=0（D）

35、A

36、=0且

37、I+B

38、=0(6)设矩阵A、B、C满足AB=AC，且A≠0，则。(A)B=C；（B）B≠C；（C）B可能等于C，也可能不等于C。三、判断题:(若错,请举反例;若对,请论证)（1）若则（）（2）若，则或（）（3）若，则；（）（4）设是阶方阵