2018_2019学年高中数学第二章推理与证明章末复习同步学案新人教B版选修

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1、第二章推理与证明章末复习学习目标　1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理

2、．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法．①综合法是从已知条件推出结论的证明方法．②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　×　)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　)4

3、．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　×　)14类型一　合情推理的应用例1　(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．答案　f(n)＝n3解析　由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为

4、f(n)＝n3.(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明．解　选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b

5、，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面．设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则在Rt△ABC中，BC＝＝，SRt△ABC＝ab.同理，CD＝，SRt△ACD＝bc.14BD＝，SRt△ABD＝ac.∴S△BCD＝.经检验，S＋S＋S＝S.即所证猜想为真命题．反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和

6、比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练1　如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．考点　归纳推理的应用题点　归纳推理在图形中的应用答案　13　3n＋1解析　设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)，所以an＝3n＋1.类型二　综合法与分析法例2　试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤.考点　

7、分析法和综合法的综合应用题点　分析法和综合法的综合应用证明　分析法要证2sin2α≤成立，只需证4sinαcosα≤，∵α∈(0，π)，∴sinα>0，只需证4cosα≤，∵1－cosα>0，14∴4cosα(1－cosα)≤1，可变形为4cos2α－4cosα＋1≥0，只需证(2cosα－1)2≥0，显然成立．14综合法∵＋4(1－cosα)≥4，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号，∴4cosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα>0，∴4sinαcosα≤，∴2sin2α≤.反思与感悟　分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析

8、法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2　设a>0，b>0，a＋b＝1，求