2018_2019学年高中数学第二章推理与证明章末复习同步学案新人教A版选修

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1、第二章推理与证明章末复习学习目标　1.理解合情推理和演绎推理.2.会用直接证明和间接证明方法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理，②小前提——所研究的特殊情况，③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．直接证明和间

2、接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　×　)2．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　√　)3．一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(　×　)4．在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2

3、，则它们的体积之比为1∶8.(　√　)5．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)6．命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了综合法．(　√　)12类型一　合情推理的应用例1　有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n

4、∈N*)与组的编号数n的关系式为________．考点　归纳推理题点　归纳推理在数对(组)中的应用答案　f(n)＝n3解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练1　观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6

5、＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式应为________．考点　归纳推理题点　归纳推理在数阵(表)中的应用答案　n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2解析　把已知等式与行数对应起来，则每个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n－1；右边都是完全平方数，　　　　　　　　　　　行数　　等号左边的项数1＝1112＋3＋4＝9233＋4＋5＋6＋7＝25354＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝4947………………12所以n＋(n＋1)＋…＋[n＋(2n－1)－1]＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋…＋(3n－

6、2)＝(2n－1)2.故填n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.类型二　综合法与分析法例2　已知

7、a

8、<1，

9、b

10、<1，

11、c

12、<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决函数问题证明　构造函数f(x)＝(bc－1)x－b－c＋2(x∈(－1,1))，则f(1)＝(bc－1)－b－c＋2＝(b－1)(c－1).∵

13、b

14、<1，

15、c

16、<1，∴f(1)>0.又∵bc－1<0，∴f(x)在(－1,1)上为减函数．∴f(x)在(－1,1)上恒大于0.∵

17、a

18、<1，∴f(a)>0.∴(bc－1)a－b－c＋2>0，即abc＋

19、2>a＋b＋c.反思与感悟　根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函数问题，再利用函数的图象与性质解决问题．跟踪训练2　设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.考点　分析法及应用题点　分析法解决不等式问题证明　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，即需证a2－ab＋b2>ab成立．只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，所以(a－b)2>0显然成立．即a3＋b3>a2b＋ab2.类型三　反证法例3　

20、已知f(x)＝ax＋(a>1)，求证：f(x)＝0没有负根．考点　反证法及应用题点　反证法的应