2018_2019学年高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则教案（含解析）北师大版

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1、5简单复合函数的求导法则已知y＝(3x＋2)2，y＝sin.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明y＝(3x＋2)2如何复合的．提示：令u＝g(x)＝3x＋2，则y＝u2，u＝3x＋2，y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.问题4：观察问题3中导数有何关系．提示：y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)．1．复合函数的概念对于两个函数y＝f(u)和u＝φ

2、(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．简单的复合函数求导[例1]　求下列函数的导数：(1)y＝sin3x；(2)y＝；(3)y＝lg(2x2＋3x

3、＋1)；(4)y＝sin2.[思路点拨]　先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．[精解详析]　(1)设y＝sinu，u＝3x，则y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·(3x)′＝cosu·3＝3cos3x.(2)设y＝u－，u＝1－2x2，则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x2)′＝－u－·(－4x)＝－(1－2x2)－(－4x)＝2x(1－2x2)－.(3)设y＝lgu，u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝(lgu)′·(2x2＋3x＋1)′＝·(4x＋3)＝.(4)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋.则

4、y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝2sinv·cosv·2＝2sin2v＝2sin.[一点通]　1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．1．函数y＝的导数是(　　)A.　　　　　　　B.C．－D．－解析：选C　∵y＝＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：f′(x)＝5(2x＋1)4

5、·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.答案：103．求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝；(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.解：(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12；(2)y′＝·(6x＋4)′＝；(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1；(4)y′＝·(2x－1)′＝.(5)y′＝cos·′＝3cos.(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.复合函数导数的综合问题[例2]　某港口在一天24小

6、时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．[精解详析]　设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝t＋.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·＝cos.将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．它表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为m/h.[一点通]　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．4．f(x)＝，且f′(1)＝

7、1，则a的值为________．解析：∵f′(x)＝·(ax－1)′＝，∴f′(1)＝＝1.解得a＝2.答案：25．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.解析：∵y′＝a·eax，且y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴k＝2＝f′(0)＝a，即a＝2.答案：26．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32.写出y关于t的

8、函数解析式，并求y关于t的函数的导数．解：x′＝－32e－2t.(1)当t＝1时