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1、戴氏教育精品堂培训学校教育中心函数的性质【教师寄语：强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。】一、学习目标知识点一：单调性与单调区间1增函数：y随x的增大而增大的函数。区间［a,bM任意X］ex?都有/（兀/（勺），贝収=/（兀）在区间［a,b］上是增函数。2减函数：y随x的增大而减小的函数。区间［a,方］内任意西＜兀2都有/（兀1）＞/（勺），则y=/⑴在区间［a,Z?］±是减函数。3、如果一个函数在某个区间［a,b］.h是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间肚切上具有单调性,区间［么引称单调区间.注意点：①求函数的单调区间，必须先
2、求函数的定义域；②函数的单调性是对于定义域内的某个子区间而言的；③上述兀，&必须是任意的,“任意”二字绝不能丢掉；④上述兀
3、,兀2同属一个区间，通常规定X］＜X2考查：应用函数单调性求最值例题一下列命题正确的是（）A.定义在仏b）上的函数y=f（x）9若存在xpx2g,使得x{＜x2时，有/（%!）＜/（七），那么y=/（兀）在（Q,b）上为增函数.B.定义在仏/?）上的函数y=/（x）,若有无穷多对西,兀2丘仏〃），使得西＜兀2时，有/（兀J＜/（兀2），那么歹=/（劝在（a,b）上为增函数・C.若〉，=/（兀）在区间人上为减函数，在区间厶上
4、也为减函数，那么y=/W在厶U12上也一定为减函数.A.若y=/（x）在区间/上为增函数且/（%!）＜f（x2）（x^x2g1），那么xi＜x2・知识点二函数单调性的证明步骤:①取值：设心兀2为该区间任意的两个值，且西＜兀2②作差变形:f（X1）-f（X2）,变形②定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论③判断：作出结论注意点：①f(xj-f(xj变形计算吋，尽量分解成因式形式，方便作差计算;②若要证明f(X)在血引上不是单调函数时，只要举出反例即可。延伸：导数与单调性例题一证明函数/(切=兀+丄在(0,1)上是减函数。X扩展：
5、可以用同样的方法证明/(Q=x+丄在(0,1)±和[-1,0)分别是减函数.但根据/(x)=x+-的图象可以看到函数在(0,l)U[-1,0)上并不是单调递减的.今后，遇到形如y=x+£(p>0)的函数可以类似考虑.知识点三利用函数的单调性求最值1、对于单调函数，最大值或最小值岀现在定义域(区间)的边缘;2、对于非单调函数，需借助图像求解；3、分段函数的最值先需分段讨论，再下结论考查:最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。例题二已知函数/(兀)=X+d[1,4-00).当。=丄时，求函数/(X)的最小值x2知识点四函数的奇偶性⑴函数的定义
6、域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件;⑵/(x)是奇函数Of(-x)=-f(x)o/(-x)+f(x)=0<=>八7)=-1；/(x)⑶/(兀)是偶函数of(-x)=f(x)<=>f(-x)-f(x)=0<=>=1；/(x)⑷奇函数/(兀)在原点有定义，则/(0)=0；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有和反的单调性(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性注意点:①首先确定函数的世义域,看它是否关于原点对称;若不对称,则既不是奇函数乂不是偶函数.例题三、讨论下列函数的奇偶性:(1)/(x)=(x
7、+l)1—Xl+x;f—x2+2x+1x>0(3)f(x)=寸4—x?
8、x+31—3(2)/M=x^+2x-lx<0知识点五函数的周期性1、周期性的定义：对定义域内的任意兀，若有/(x+T)=/(x)(其中丁为非零常数)，则称函数/(兀)为周期函数，：T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期2、设m为非零常数，下列任意一条件恒成立，贝Uf(x)是周期函数，2m是它的一个周期。=-f(x)②/(x+m)=f{x-m)(5)/(x+m)=/(x)+1®fx+m)=1-/(兀)1+/(兀)考
9、查：选择题与填空题中周期函数的判断与求值。例题四、(2010年安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足/(1)=1,f(2)=2,贝IJ/(3)-/(4)=()A.一1B・1C・一2D・2知识点六图像的变换1>平移：①y=/(x)—>_y=f(x±a),(a>0)左“+”右“-”；2、伸缩：①y=/(兀)—>y=/(血)，(。>0)纵坐标不变，横坐标伸长为原来的丄倍；CD②y二于(兀)ty二4f(x)，(A>0)横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；3、对称：①y=/(x)曲》)，—)；®y=f(x)v=0>y=-/(x);®y=fMA
10、=o>y=/(-x)；®y=/(x)-v=v>y=厂'(兀)；一般地：如函数y二f(x)对定义域中的任意x的值,都满足f(a+mx)=f(b-mx),
