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1、目删1底教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数,用式子可表示成：aUb=a+b-aPIb（其中符号M乍笄，相当于中文种或#'或’的意思；符^“"'且"的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下读作交’，相当于中文:A表示小圆部分,B表示大圆部
2、分,C表示大圆与小圆的公共部分，记为:AnB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分，记为:部分,第一步：分别计算集合A、B的元素个数,ATB,即阴影面积.来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=A“B（意思是7重复计算的元素个数）・然后加起来，即先求A+B（意思
3、是把A、B的一切元素都“包含”进1AB二、三量重叠问题A类、B类与C二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数〜B类元素个数类元素个数一既是A类又是B类的元素个数■■既是B类又是
4、C类的元素个数■■既是A类又是C类的元素个数十同时是A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为：AUbJc=A*B*C_A〔B〜花一C*A“C・图示如下：A+B+C—aAbHc3在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.A“B-B“C一A^C例题精讲【例1]在1-100的全部自然数中，不是【考点】容斥原理之数论问题【难度】数，长方形内两外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数.【解析】如图，用长方形表示1-100的全部自然数，A圆表示1-100中3的倍数，B圆表示1-100中5的倍由100令
5、3=3狎1可知，1-100中3的倍数有33个；由10（T5=20可知，1-100中5的倍数有20个;由100-5）=6
6、H10可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个.由包含排除法，3或5的倍数有：33+20-6=47（个）.从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有100-47=53（个）.【答案】53【巩固】在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】100-3=33
7、
8、
9、1,100-5=20,100-（3x5）=6
10、
11、
12、10.根据包含排除法
13、，能被3或5中任一个整除的数有33+20_6=47（个）.【答案】47【巩固】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数.前100个自然数中能被2整除的数有：10CL2=50（个）.由10（^3=33诃知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个.由100*（2.3）=16屮4知，前100个自然数中既能被
14、2整除也能被3整除的数有16个.所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数.因为A,B都包含C,根据包含排除法得到,能被2或3整除的数有：5L33-16-67（个）.【答案】67【例2］在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】1〜1000之间，5的倍数有徑［1=200个，7的倍数有［12221=1424",因为既是5的倍数，又是」I*77的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有1=28个.I35」所以既不能被5除尽，又不能
15、被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.【答案】686【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】记A：1~100中3的倍数，100-3=33
16、
17、
18、
19、
20、
21、1，有33个；B：1~100中7的倍数，100^7=14
22、
23、
24、
25、
26、
27、2，有14个；APB：1~100中3和7的公倍数，即21的倍数，100-21=4
28、
29、
30、
31、
32、
33、16，有4个.依据公式，1-100中3的倍数或7的倍数共有33+14_4=43个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答
34、案】43【例3］以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少?【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=35x7,所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有“个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，门的
