二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

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1、二次函数的存在性问题（相似三角形）1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；AABBOOxxyy图①图②(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。2、设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．8(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(

2、1，n)在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴△AOC∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB=∴m=4．xyF-2-4-6ACEPDB521246G3、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.

3、（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得：解得故抛物线的函数关系式为（2）在抛物线上，点坐标为（2，6），、C在直线上8解得直线BC的解析式为设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）（3）存在P，使得∽设P，故若要∽，则要或即或解得或又在抛物线上，或解得或故P点坐标为和4、如

4、图，抛物线与轴的交点为．直线与轴交于，与轴交于．若两点在直线上，且，．为线段的中点，为斜边上的高．（1）的长度等于；，．DxyNOMPACBH（2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个点，直线与直线的交点是否总满足，写出探索过程．解：（1）；，．（2）设存在实数，使抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与等腰直角相似．以为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类

5、，一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形．①若为等腰直角三角形的直角边，则．由抛物线得：，．，．的坐标为．把代入抛物线解析式，得．抛物线解析式为．即．②若为等腰直角三角形的斜边，则，．8的坐标为．把代入抛物线解析式，得．抛物线解析式为，即当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的点．当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点．当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直角三角形，又，．，

6、，总满足．当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，同理可证得：，总满足yxOAB5、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可设抛物线的解析式为∵抛物线过原点∴∴∴抛物线的解析式为即.yxOABENA′（2）∵△AOB与△MOB同底不等高又∵S△MOB=3S△AOB∴△MOB的高是△AOB高的3倍即

7、点M的纵坐标是∴∴解得，∴（3）由抛物线的对称性可知：AO=AB若△OBN与△OAB相似，必须有，显然∴直线ON的解析式为，由，得，∴过N作NE⊥x轴，垂足为E.在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴又OB=4∴NB≠OB8∴∠BON≠∠BNO∴△OBN与△OAB不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点.故在抛物线上不存在N点，使得△OBN与△OAB相似6、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CE—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO.(1)试比较

8、EO、EC的大小，并说明理由；(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；(3)在(