§3 分式线性映射

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1、订装《》教案§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数(为复常数且)……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：，，,因为：当时,(6.4)式变为,可以看做和的复合.当时，(6.4)式变为它可以看作，,参与的复合。((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：,(b为复数)((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))线第9页第六章共形映射§3分式线性映射第9页订装《》教案bwC

2、z作用：将点z沿向量b的方向平行移动距离就得到w.((注意：点即向量))同样可以将曲线C上沿b的方向平行移动距离

3、b

4、zwC(1)旋转映射：(为实数)设,则有,因此只需将点z的绕原点旋转角度即可得到w.同样将曲线C进行旋转角度。(2)相似映射：zwC设,则,因此只需将点z的模伸长或缩短r倍即可得到w，而辐角不变.，也可以将曲线放大或缩小(3)反演映射：当点z在单位圆外部时，此时，故,即w位于单位圆内部。当点z在单位圆内部时，此时，故,即w位于单位圆外部。所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。规定：反演映射将映射成,将映射成。1、分式线性映射的性质1）

5、保形性线第9页第六章共形映射§3分式线性映射第9页订装《》教案定理6.5分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。定理6.6在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。((这里的圆包括直线和一般所指的半径为有限的圆周))注意：（1）如何判断分式线性映射将圆映射成圆还是直线呢？在分式线性映射下，当z平面上的圆C上有一点被映射成无穷远点，即这个圆经过无穷远点，那么这条曲线C就被映射成直线。如果圆C上没有点被映射成无穷远点，那么圆C就被映射成半径为有限的圆。补充：区域D的边界

6、的方向规定：当一个人沿着区域D的边界行走时，区域D始终在这个人的左手边，那么这个人行走的方向为边界的方向。例：求实轴在映射下的像曲线;((由于实轴过无穷远点，所以实轴可以看做是半径为无限大的圆))解：在实轴上取三点：,则对应的三个像点为：.实轴的像经过,且为圆，因此像曲线为.xyuv1O2O1线第9页第六章共形映射§3分式线性映射第9页订装《》教案由于实轴的方向是自左向右，那么它的像曲线的方向如何确定呢？显然，当是沿着实轴的正方向取值的，所以在圆周上的排列顺序就是的方向：即顺时针方向。或者用下面的方法：当取上半平面点时,,因此上半平面被映射为圆：的内部。实轴作为上半平面的边界，上半平面在实轴的

7、左手边，所以圆：的内部应在圆周的左手边，这样圆周：的方向为顺时针方向。例：求区域在映射下的像。解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）1－1iC1C2－iAB((首先，画出区域D))区域D如图所示：首先映射w将i,－i分别变成0和，所以w将C1,C2分别映射成过原点的两条射线，方向为从原点指向无穷远点，的方向为从无穷原点指向原点。由于C1,C2在z=i处的夹角为,所以根据分式线性映射的保角性，在w=0处的夹角为。线第9页第六章共形映射§3分式线性映射第9页订装《》教案映射w将z=0映射成w=－1,所以将过三点的线段AB映射成过的左半实轴。方向为自右向左。由于C1和A

8、B的夹角为135度，所以和左半实轴的夹角为135度。同样C2和AB的夹角为135度，所以和左半实轴的夹角为45度。综合上述讨论，可以画处区域D的像区域。3）保对称点性定义：设某圆的半径为R，A、B两点再从圆心出发的射线上且则称A和B是关于圆周对称的。定理6.7设关于圆C对称，则在分式线性映射下，它们的像点关于C的像曲线对称。注：圆C可以为直线。三、惟一决定分式线性映射的条件定理6.8在z平面上任给三个不同的点,在w平面上也任给三个不同的点,,，则存在惟一的分式线性映射，把分别依次地映射为,,，并且(6.10)推论6.1如果或中有一个为，则只须将对应点公式中含有的项换为1.线第9页第六章共形映射

9、§3分式线性映射第9页订装《》教案例：求将对应地变成的线性变换。解：设,对应的点为则所求线性变换为即为整理得推论6.2设是一分式线性映射，且有以及，则它可表示为(k为复常数)特别地，当时，有……(6.11)注意：这个公式能把过点的弧映射成过原点的直线,即将映射成原点，映射成。说明：在处理边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围成的区域的共形映射问题时，分式线性变换起着十分重要的作用。例：将区域映射为第一