分式线性映射.ppt

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1、第二节分式线性映射一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、小结与思考2一、分式线性映射的概念称为分式线性映射.说明:否则,由于那末整个z平面映射成w平面上的一点.小知识3~~~~~~~~~~分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊映射的复合：称为：平移　　　　整线性　　　　　反演4事实上，5二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)6旋转与伸长(或缩短)变换事实上,设那末因此,把z先转一个角度7反演变换此映射可进一步分解为欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:关键:8对称点的定义:设C为以原点为中心,r为

2、半径的圆周.在以满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O.9...设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂作图:.10故可知:...关于单位圆对称关于实轴对称11三、分式线性映射的性质1.一一对应性例如:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.122.保角性若规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射下所映成的通过圆点的两条象曲线的交角.13综上所述知:14综上所述:定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性153.保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是

3、半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.162)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.173)分式线性映射定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果184.保对称性对称点的特性....19....20结论充要条件是:21即分式线性映射具有保对称性.定理三22证分式线性映射[证毕]23小知识分式线性映射首先由德国数学家

4、默比乌斯(1790~1868)研究,所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.默比乌斯24四、小结与思考分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合,及其保角性、保圆性和保对称性.25思考题26思考题答案放映结束，按Esc退出.27默比乌斯资料AugustMöbiusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)Died:26Sept1868inLeipzig,Germany