泰勒公式及其应用本科论文

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1、泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容•本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从10个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用，从而使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式;皮亚诺余项;拉格朗日余项;应用Abstract:Taylor^sformulaisanimportantknowledgeinthemathematicalanalysis.ThispaperdiscussessomebasiccontentsabouttheTaylor'sformula,Inthispaper,wedis

2、cussitsapplicationsinthemathematicalanalysisandrealitylifefrom10facetsingeneral，thatthiscanhelpustoknowtheimportanceoftheTaylor^formula.Keywords:Taylofsformula;TheremainingofthePiano;TheremainingoftheLagrangian;Application1引言由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位,促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研

3、究,特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了.在数学史上,泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法.1715年泰勒出版的《增量法及其逆》一书屮载有现在微积分教程中以他名字命名的一元函数的幕级数展开公式，当时是他通过对格雷戈里一牛顿插值公式求极限而得到的.但是他的成果被同时代的很多人所忽视,直到1755年,欧拉把泰勒级数应用于他的“微积分”时才认识到其价值，后来拉格朗□用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世.泰勒公式的理论方法已经

4、成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集屮体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势,利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用.泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了很大的作用•关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点等等.本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的

5、基本概念，相关定理及余项表达式.2预备知识2.1Taylor公式在学习导数和微分概念时，若函数/（兀）在母）处刀阶可导其中令111恥)*如+八恥-如)+詁(恥-和2+...+討叫)("就/?”(X)=O((X-X0)")(XTX°)则/(X)=/?ZI(X)+6>((X-Xor)即♦1°/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+—/(x0)(x-x0)+…+2严)(兀0)(兀_如)"+0((兀一XQ)")・n称为/(劝在观处的门阶泰勒公式,其中几(x)的各项系数丄严)g)(n二1,2,…)称为泰勒系n数.Rlt(%)=f(x)-

6、pn(x)称为泰勒公式的余项.2.2Taylor公式的各种余项泰勒公式按其不同的的余项分可为两类,一类是定性的，一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异.定性的余项为佩亚诺型余项0((兀-兀())")，仅表示余项是(乳-兀())"，即当(兀T兀0)时高阶的无穷小.f(畀+1)甘)定量的余项为拉格朗口型余项一(兀-心)曲(7也可以写成々+&(—珀))，0+1)!(Ov&vl))，定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或估计.2.2.1带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式定理2.1若函数/(兀)在点X。的某邻域存在直至72阶导数，则

7、对此邻域内的点兀有I11f(x)=f(xQ)+f(x0)(x-x0)+—/'(x0)(x-x0)2+•••+—/(n)(x0)(x-x0)rt2!rv.+o((x-x())")(2.1)其屮，Rn(x)=o((x-x()y)称佩亚诺余项，(2.1)式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.当兀°=0时,111/(X)=/(0)+/(0)x+-/"(0)x2+•・•+「/(”)(0)疋+0(0)(2.2)2!tv.(2.2)式称为(带佩亚诺余项的)麦克劳林(Mac1aurin)公式.2.2.2带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式定理2

8、.2若函数/(Q在［⑦刃上存在育至斤阶连续导数，在(a,b)内存在育(斤+1)阶导数则对任慧给定的ga,b,至少存在一点(a.b)，使得I11fM=f(xQ)+f(x0)(x-x0)+—/"(x0)(x