（全国通用版）2019年中考数学复习 第六单元 圆 滚动小专题（七）与圆有关的计算与证明练习

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1、滚动小专题(七)　与圆有关的计算与证明类型1　与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴＝.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°.

2、又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ACB中，BC＝AB.又∵OD＝AB，∴BC＝OD.2．(xx·温州)如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．(1)求证：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．解：(1)证明：由题意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.∴AB＝AC，∴AE＝AB.(2)过点A作AH⊥BE于点H.∵AB＝AE，BE

3、＝2.∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝.∴＝.∴AC＝AB＝3.∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3.3．(xx·包头)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CD，CE，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB＝∠ABC，连接BF.(1)求证：∠BCD＝∠BEC；(2)若BC＝2，BD＝1，求CE的长及sin∠ABF的值．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B

4、CD＋∠ACD＝90°.∵DE是⊙A的直径，∴∠DCE＝90°.∴∠BEC＋∠CDE＝90°.∵AD＝AC，∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC.(2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BDC∽△BCE.∴＝＝.∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD.∴DE＝BE－BD＝3.在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝9.∴CD＝.∴CE＝.过点F作FM⊥AB于点M，∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，∴△AFM∽△BAC.∴＝.∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝，AB＝.∴FM＝.过点F

5、作FN⊥BC于点N，∴∠FNC＝90°.∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC.∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四边形FNCA是矩形．∴FN＝AC＝，NC＝AF＝，∴BN＝.在Rt△FBN中，BF＝＝，∴在Rt△FBM中，sin∠ABF＝＝.类型2　与圆的切线有关的计算与证明4．(xx·滨州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.求证：(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2＝2AD·AO.证明：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴

6、∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∵OC为⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．(2)连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴＝，即AC2＝AB·AD.∴AC2＝2AD·AO.5．(xx·金华)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠

7、E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②过点O作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2.∴EF＝GE－FG＝2－2.6．(xx

8、·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC.∵CD为⊙O的切线，∴O