2018-2019学年高中数学 第八章 解三角形 8.1 正弦定理（一）学案 湘教版必修4

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1、8.1　正弦定理(一)[学习目标]　1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.[知识链接]下列说法中，正确的有________.(1)在直角三角形中，若C为直角，则sinA＝；(2)在△ABC中，若a>b，则A>B；(3)在△ABC中，C＝π－A－B；(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等；(5)在△ABC中，若sinB＝，则B＝.答案　(1)(2)(3)解析　根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大

2、角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；若sinB＝，则B＝或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确.[预习导引]1.在Rt△ABC中的有关定理在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝90°，0°

3、.3.三角形常用面积公式(1)三角形面积公式S＝ah.(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.4.正弦定理在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，这个结论就叫作三角形的正弦定理，即＝＝.要点一　已知两角及一边解三角形例1　(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.(2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解　(1)∵A＝30°，C＝45°；∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得b＝＝＝40sin(45°＋60°)＝10(＋)；c＝＝

4、＝20，∴B＝105°，b＝10(＋)，c＝20.(2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4，由＝，得c＝＝＝＝4(＋1).规律方法　已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.跟踪演练1　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，得c＝a·＝5·＝5·＝5·＝

5、(＋).要点二　已知两边及一边的对角解三角形例2　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a＝1，b＝，A＝30°；(2)a＝，b＝1，B＝120°.解　(1)根据正弦定理，sinB＝＝＝.∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝＝＝2；当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，c＝＝＝1.(2)根据正弦定理，sinA＝＝＝>1.因为sinA≤1.所以A不存在，即无解.规

6、律方法　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.跟踪演练2　(1)在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.(2)在△ABC中，已知a＝2，c＝，A＝，求C，B，b.解　(1)∵＝，∴sinA＝＝.∵c>a，∴C>A.∴A＝.∴B

7、＝，b＝＝＝＋1.(2)∵＝，∴sinC＝＝.又∵a

8、与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.跟踪演练3　△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积.解　由正弦定理得＝，∴sinC＝.∵0°