2019高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算学案 新人教B版选修2-2

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1、1.2　导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y＝f(x)y′＝f′(x)y＝cy′＝0y＝xn(n∈N＋)y′＝______，n为正整数y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝μxμ－1，μ为有理数y＝ax(a＞0，a≠1)y′＝______y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝______y＝sinxy′＝______y＝cosxy′＝______(1)求导公

2、式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求．(2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x－3；④若y＝f(x)＝3x，则f′(1)＝3；⑤若y＝cosx，则y′＝sinx；⑥若y＝sinx，则y′＝cosx．其中正确的个数是(　　)．A．3B．4C．5D．6【做一做1－2】下列结论中正确的是(　　)．A．(logax)′＝B．(logax)′＝C．(5x)′＝5xD．(5x)′＝5xln52．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则

3、：设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)≠0，则′＝_____

4、___________.(1)比较：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝，注意差异，加以区分．(2)≠，且′≠.(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f(x)＝sinx＋，g(x)＝cosx－，则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sinx＋cosx在x＝0处可导．【做一做2】下列求导运算正确的是(　　)．A．′＝1＋B．

5、(log2x)′＝C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx3．复合函数的求导法则对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．如函数y＝(2x＋3)2是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函

6、数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cos.(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．【做一做3】函数y＝ln(2x＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导

7、数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x)的另一种写法，两者都表示函数y＝f(x)的导数．3．如何理解y＝C(C是常数)，y′＝0；y＝x，y′＝1?剖析：因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y＝x的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一利用公式求函数的导数【例题1】求下列函数的

8、导数：(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin(1－2cos2)．分