32导数在研究函数中的应用

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1、第三编导数及其应用3・2导数在研究函数中的应用%1.要点集结1.函数的单调性设函数）‘畝兀）,如果在某个区间上/（力＞0,那么/U）为该区间上的增函数；如果在某个区间上蚀＜0•那么7U）为该区间上的减函数.2.函数的极值设函数円仗），如果在点Eo的左侧，函数单调递增•即fU）＞0；在点x=x0的右侧,函数卒调递减•即他）＜0:而在点尸心处有f1x）=0则称.心））为函数,心）的极大值，勺函数的极大值点；如果在点x=xo的左侧，函数单调递减•即他）V0:在点%=xo的右侧，函数单调递增•即畑＞0:而在点eo处有他0=0则称夬也）为函数心）的极小值—,_xo—函数Ax）的极小值点.3.函数.

2、y=/U）在区间［d,b］上的最值先求函数在区间@0）上的极值;再将函数尸/⑴的极值与端点处的函数值畑㈣比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.%1.考点探究考点1・函数的单调性例1已知j［x）=ex-cix-1.⑴求兀0的单调增区间；（2）若心）在定义域R内单调递增，求a的取值范圉；（3）是否存在°,使/U）在（4,0］上单调递减，在［0,+oo）上单调递增？若存在，求岀Q的值;若不存在，说明理由.考点2•函数的极值例2.已知函数y（x）=x3+ttt2+hx+a2（1）若几兀）在x=处有极值10,求Q0的值；⑵若方且./（兀）有极大值乂有极小值，求实数a的取值范围;*（3

3、）若尢）在（1,2）上有极小值，且方＞0,求纟的最小值.解析:(1)由f(x)=x3--ax1--bx--a29得/⑴=3“+20¥+/?,根据已知条件卩(1)=0,h)T0,j2d+b+3=0,+d+b+1—10.fa=4a=—3,l或，r'（经检验应舍去）b=—11,lb=3.（2）若b=o,则f（x）=3X24-2ax+a,°・•函数夬兀）有极大值和极小值，.二方程3/+2or+d=0有两个不相等的实根.即A=4a2—12o＞0,/.a＞3或a＜0.考点3•函数的最值例3.已知函数jix）=wc-cuc（a>0）.求函数.沧）在［1,2］上的最小值.解:(I)fx)=--

4、a(x>0X当°>0时，令fx)=--a=0,x当0vxv丄时，/心）=上竺〉0；axX>丄时，(兀)=-——l时，函数/（兀）在区间［1,2］上是减函数,a・•・/（对的最小值是/⑵=In2-2。.②当丄>2,即*丄时，函数/⑴在区间［1,2］上是增函数,a2・•・/(无)的最小值是/(I)=-61.③当1<-<2,即丄vavl时,函数/（兀）在［1,1］±是增函数，在［丄,2］是减函a2aa数.••-当—<<7

5、a.综上可知，当0svln2时，函数/（x）的最小值是/（x）min=a;当CIn2时,函数f{x）的最小值是/（x）min=ln2.三.疑点诠释1.利用导数判断函数的单调性首先要确定函数的定义域，只能在定义域内讨论函数的单调性.2.求函数的单调递增（或递减）区间，只要求岀/3>0（或/3<0）的区间即可.但若函数.心）在区间（仍）内单调递增（或递减）,则应有.f©）no（或./tx）50）成立.3.已知函数的极值点求待定系数的值，可利用函数在一点处有极值的必要条件,列岀方程组求解，但最后要注意进行检验取舍.四.热点研习1.（2009-江苏，3）函数.心）=/一15兀2—33无+6的单调

6、减区间为・解析•:f(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),令f(兀)<0得一1能).3.已知函数j［x)=^-ax在［l,+oo)上是单调增函数，则d的取值范围是.解析/在［l,+oo)上是单调增函数,.丁z(x)>0在区间［l,+oo)±恒成立，即3x2-6/>0,xg［1,+°°)恒成立，故实数a小于或等于3<在［1,+oo)

7、上的最小值，即c/<3,4.已知函数J(x)=x-2wc的最小值为1.5.(2010-福州模拟)已知,Ax)=2x3-6?+m(m为常数)在［一2,2］上有最大值3,那么此函数在［一2,2］上的最小值是.解析•:fW=6?-12x=6x(x-2),・・7W在(一2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，・•.当兀=0时,J(x)=ni最大.・・.加=3,从而/(—2)=—37,.几2)=—5.・°・最小值为一37.6.(2010