3、x(-4)2+8=6,所以PDE周长最小时点P的坐标为8(-4,6)・点评本例三角
4、形的三个顶点中，点P为动点,点均为定点•由于DE的长为定值，欲使APDE的周长最小，只需满足PD+PE的值最小即可•进而利用“点P运动的过程中，PD与PF的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC上一动点F与直线外一定点E的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P的位置.例2(2019年山西省，有改动)如图3,在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x4-3与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点•请在直线AC上找一点M,使ABDM的周长最小,求出M点的坐标.分析易知A(—l
5、,0),3(3,0),C(0,3),D(l,4),故AB=4,AC=yj0A2-^OC2=10,直线AC的解析式为y=3x+3・如图4,作点B关于直线AC的对称点连接交AC于点M,则ABDAf即为符合题意的周长最小的三角形.（证明如下:不妨在直线AC上取异于点M的任一点AT,连接B由对称性可知：BM=B,MyBM,=B,M,,于是ABDM的周长=BrM+DM+BD,ABDM‘的周长二B'M'+DM'+BD•而在△BrDM'中，B'M'+DM'>B'D,即BrMr+DMf>BfM+DM,所以^BDM'的周长大于ABDM的周长•)若BB‘交AC于点E,
6、则ZABE=90°-ZCAO=ZACO,BB‘=2BE=2AB•cosZABE=2AB•cosZACO21y=2x4x舟廊+皿过3'点作B'F丄无轴于点F,则Xb・=3-BF=3-BB5sZABE=3-竺故嗨环%=B'F=BB'•sinZABE"B，•sinZAC。町亦右城+448易求直线眈的解析式为"b+厅448v=—x+—联立解方程组>1313,y=3无+39_35132"35"9132所以M点的坐标为（寿芬）.点评本例三角形的三个顶点中，点M为动点，点B、D均为定点,且均位于动点M所在直线AC的同一侧•通过寻找定点B关于动点M所在直线AC的对
7、称点Bf,将问题转化为“求定直线AC上一动点M与直线异侧两定点B',B的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决（当B'、M、D三点共线，即点M为直线与直线AC的交点时，DM+BM的值最小，此时ABOM的周长最小）.1.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例3（2019年湖南张家界，有改动）如图5,抛物线y=ax2+bx+c（a^0）^点C（0,l）,顶点为Q（2,3）,点D在兀轴正半轴上，且OD=OC.将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,若点P是线段QE上的动点，点F是线段0D上的动点，问
8、:在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析存在•理由:如图6,分别作点C关于直线QE,x轴的对称点C,C",连接CC,交0D于点F,交QE于点P,则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF的周长等于线段CC的长.（证明如下：不妨在线段0D上取异于点F的任一点在线段QEh取异于点P的任一点P,连接CF,CP,FP,FC"，卩C・由轴对称的性质可知P'CF的周长二FC+FP+PC,而FC+FP+PC的值为折线段C-P-F-C”的长，由两点之间线段最短可知FC"+FP+PC>C
9、C”,即P,CF,的周长大于NPCF的周长.）如图6,过点Q作QG丄y轴于点G,过点C'作C7/丄y轴于点H,贝!）C
