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《苏州市2017年中考数学《对称图形—圆》拓展课本例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、拓展课本例题演绎中考精彩课本例题、习题是经过专家精心遴选的，具有典型性、示范性的题目，而且具有可拓展的功能.从学生认知思维的最近发展区域，以课本习题为原型，从题设、结论及图形结构全方位、多角度的探究与联想，挖掘其蕴藏的深层内涵，可以引导学生深刻领悟解决问题的策略，优化思维品质，提升数学的思维水平.本文以苏科版《数学》九年级《对称图形一一圆》中的一道习题为例，诠释如下.引例如图1,AB是OO的直径，C是OO上的一点，4D垂直于过点C的切线，垂足为D,则AC平分ABAD.变式拓展1将习题的条件一一OO
2、切线与结论一一角的平分线交换，构造其逆命题，附加某些线段的长度计算圆中弦长或阴影部分的面积.例1（2016年黄石中考题）如图2,OO的直径为AB,点C在圆周上（异于A,B）,的丄CD.（1）若BC=3,AB=5,求AC的值；（2）若AC是ZDAB的平分线，求证:直线CD是（DO的切线.分析（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理便可求得AC的长.（2）连结0C,证0C丄CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得ZOCA=ACAD,即可得到0C//4D.由于AQ丄C
3、D,那么0C丄CD,由此得证.图2图3解(1)TAB是OO的直径，点C在OO±•・・ZACB=90°在RtVABC+,QBC=3,AB=5,・・・由勾股定理，得AC=4.(2)如图3,连0C结.QOA=OC,:.ZOAC=ZOCA,又QAC是ZDAB的角平分线，••・ADAC=ABAC.:.ADAC=ZOCA,/.OC//AD,又QAD丄DC,/.OC丄CD,・・・DC是（DO的切线.评注此题耍证某线是圆的切线，己知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.例2（2016年咸宁中考
4、题）如图4,在VABCZC=90°,ABAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,FF.（1）试判断直线BC与G）O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2羽,BF=2,求阴影部分的面积（结果保留;r）.C图4解析(1)BC与(DO相切，理由略.(2)设OO的半径为厂，则OD=r,OB=r+2.由(1)知ZBDO=90°,・•・OD2+BD2=OB2,即厂？+（2侖）2=（厂+2尸,解得r=2,・•・ZOBD=30°,・•・ZBOD=
5、60°.于是有S阴影=S、oBD~S扇形BDF=r0DXBD-^r2评注本题将阴影部分（不规则图形）的面积转化为规则图形（可求面积）面积的和或差（S阴影=S'OBD-S扇形B”），这是解决此类冋题的关键•变式拓展2将换成半圆，并延长切线与直径使之相交，形（图形结构变化）变而神（条件、结论）不变.例3（2016年黄冈中考题）如图5,AB是半圆O的直径，点P在的延长线上，PD切（DO于点C,BD丄PD,垂足为D,连结BC.⑴求证:ZPBC=VDBC;（2）求证:BC?二ABgSD.分析（1）连结OC,
6、由PD为圆O的切线，利用切线的性质，得到OC垂直于PD.由BD垂直于PD,得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等;再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等塑代换即可得证.（2）连结AC,由AB为圆0的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到VABC为直角三角形.根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出VABC与VBCD相似，由相似得比例，变形即可得证（证明略）.变式拓展3添加RtNADC中的锐角三角形函数值，探究的弦BE分AC所成的线段的比值.例4（2016年武
7、汉中考题）如图6,点C在以A3为直径的上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D,AD交于点E.（1）求证:4C平分ZDAB;4（2）连结BE交AC于点F,若cosZCAD=-,求一的值.解析（1）因为CQ是OO的切线，根据“有切点连半径”，我们可以连接半径0C,根据“切线垂直于过切点的半径”，所以0C丄CD又AD丄CD,/.OC//AD,••・ZOCA=ZDAC9又OA=OC,/.ZOAC=ZOCA,••・ZOAC=ZDAC,所以AC平分ADAB.⑵连结BC,在RtNADC中，由cosZCAD=-=
8、-fAC5可设AD=4k,则AC=5k,DC=3k,由ZADC=ZACB=90°,ZDAC=ZCAB可得VADC:NACB.,CDAD・・・BC=—k.4由ZADC=ZACB=90°,ZDAC=ZCBF可得VADC:VBCF,CFBC”45.CDAD164535.AF=AC-FC=5k-—k=—k,1616AF7=—.FC9评注本题的第⑵问也可以通过VADC:VACB,求出直径AB（用£表示），进而得到半径OC,利用四边形DEGC（G是OC与BE的交点）是矩形，得到BE=6k.i
