浙江高考数学总复习第五章复数第3讲平面向量的数量积及其应用学案

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1、第3讲　平面向量的数量积及其应用最新考纲　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零

2、向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cos__θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：

19、a

20、＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a

21、·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)

22、a·b

23、≤

24、a

25、

26、b

27、(当且仅当a∥b时等号成立)⇔

28、x1x2＋y1y2

29、≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)-8-(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)(4)若a·b＞0，

30、则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(　　)(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.(5)由a·b＝a·c(a≠0)得

31、a

32、

33、b

34、cos〈a，b〉＝

35、a

36、

37、c

38、cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(　　)A.－1B.0C.1D.2解析

39、　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.答案　C3.(2017·湖州模拟)已知向量a，b，其中

40、a

41、＝，

42、b

43、＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________.解析　因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝

44、a

45、2－

46、a

47、

48、b

49、·cos〈a，b〉＝3－2×cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝，由于〈a，b〉∈[0，π].则向量a，b的夹角为.答案　4.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a，b的夹角为

50、，

51、a

52、＝2，

53、b

54、＝1，则

55、a＋b

56、＝________.解析　∵

57、a＋b

58、2＝

59、a

60、2＋2a·b＋

61、b

62、2＝4＋2

63、a

64、

65、b

66、cos＋1＝4－2＋1＝3，∴

67、a＋b

68、＝.答案　5.(必修4P104例1改编)已知

69、a

70、＝5，

71、b

72、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

73、b

74、cosθ＝4×cos120°＝－2.答案　－26.(2017·瑞安一中检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，

75、b

76、＝1，且a＋b与a－2b垂直，则向量a

77、·b＝________；a与b的夹角θ的余弦值为________.解析　∵(a＋b)⊥(a－2b)，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，即

78、a

79、2－a·b－2

80、b

81、2＝0，∴5－a·b－2＝0，-8-∴a·b＝3，∴cosθ＝＝.答案　3　考点一　平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】(1)(2015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，

82、

83、＝6，

84、

85、＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)A.20B.15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE

86、并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A.－B.C.D.解析　(1)取，为一组基底.∵＝3，∴＝＋＝＋＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.(2)法一　如图所