（浙江专用）高考数学第五章平面向量、复数3第3讲平面向量的数量积及应用举例教学案.docx

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1、第3讲　平面向量的数量积及应用举例1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直　2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影

6、a

7、cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，

8、b

9、cos__θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上的投影

12、b

13、cos__θ的乘积3．向量数量积

14、的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模

15、a

16、＝

17、a

18、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4)(a·b

19、)c＝a(b·c)．(　　)(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×[教材衍化]1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12，

20、a

21、＝4，a和b的夹角为135°，则

22、b

23、为(　　)A．12　　　B．6　　　C．3　　　D．3解析：选B.a·b＝

24、a

25、

26、b

27、cos135°＝－12，所以

28、b

29、＝＝6.2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．解析：因为

30、2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．(必修4P106练习T3改编)已知

31、a

32、＝5，

33、b

34、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

35、b

36、cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－2[易错纠偏](1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c

37、＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，

38、a

39、＝

40、b

41、＝

42、c

43、＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－.答案：－2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________．解析：＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知，在方向上的投影为＝＝.答案：3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3

44、(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.答案：　　　　　　平面向量数量积的运算(1)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)A．I1＜I2＜I3　　　　　　　　B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2B．－C．－D．－1【解析】　(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO

45、，所以∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝·－·＝·(－)＝·＝

46、

47、·

48、

49、·cos∠AOB<0，所以I1I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB

50、

51、·

52、

53、<

54、

55、·

56、

57、，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，所以·>·，即I1>I3.所以I3